Номер 4.20, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.20. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 8, \\ \sqrt[4]{x^3+x^2y-xy^2-y^3} = 12; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2+2xy} = 8, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 8 \\ \sqrt[4]{x^3 + x^2y - xy^2 - y^3} = 12 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x+y \ge 0$ и $x-y \ge 0$.

Упростим выражение под корнем во втором уравнении, разложив его на множители: $x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = x^2(x+y) - y^2(x+y) = (x^2-y^2)(x+y) = (x-y)(x+y)^2$.

Тогда второе уравнение примет вид $\sqrt[4]{(x-y)(x+y)^2} = 12$. Так как из ОДЗ $x+y \ge 0$, это уравнение можно переписать, используя свойства корней: $\sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt[4]{(x+y)^2} = \sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{x+y} = 12$.

Таким образом, исходная система эквивалентна системе: $ \begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 8 \\ \sqrt{x+y} \cdot \sqrt[4]{x-y} = 12 \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x+y}$ и $b = \sqrt[4]{x-y}$. С учетом ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Система в новых переменных: $ \begin{cases} a + b = 8 \\ a \cdot b = 12 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $\text{a}$ и $\text{b}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 12 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 6$.

Это дает две возможные пары для $(a, b)$: $(6, 2)$ и $(2, 6)$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a = 6$, $b = 2$.

Выполняем обратную замену: $\sqrt{x+y} = 6$ и $\sqrt[4]{x-y} = 2$.

Возводим в соответствующую степень: $x+y = 6^2=36$ и $x-y = 2^4=16$.

Решаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 36 \\ x-y = 16 \end{cases} $. Сложив уравнения, получаем $2x = 52$, откуда $x = 26$. Тогда $y = 36 - 26 = 10$. Первое решение: $(26, 10)$. Оно удовлетворяет ОДЗ ($26+10>0, 26-10>0$).

Случай 2: $a = 2$, $b = 6$.

Выполняем обратную замену: $\sqrt{x+y} = 2$ и $\sqrt[4]{x-y} = 6$.

Возводим в степень: $x+y = 2^2=4$ и $x-y = 6^4 = 1296$.

Решаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 4 \\ x-y = 1296 \end{cases} $. Сложив уравнения, получаем $2x = 1300$, откуда $x = 650$. Тогда $y = 4 - 650 = -646$. Второе решение: $(650, -646)$. Оно также удовлетворяет ОДЗ ($650-646>0, 650-(-646)>0$).

Ответ: $(26, 10)$, $(650, -646)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2 + 2xy} = 8 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения следует область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Упростим первое уравнение. Выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2$.

Тогда первое уравнение принимает вид $\sqrt{(x+y)^2} = 8$, что эквивалентно $|x+y|=8$.

Поскольку из ОДЗ следует, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то их сумма $x+y \ge 0$. Следовательно, $|x+y| = x+y$.

Система упрощается до вида: $ \begin{cases} x+y = 8 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $x = u^2$ и $y = v^2$. Подставив это в систему, получим:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = 8 \\ u + v = 4 \end{cases} $

Эту систему можно решить, выразив одну переменную через другую. Из второго уравнения $v=4-u$. Подставим в первое: $u^2 + (4-u)^2 = 8$.

$u^2 + 16 - 8u + u^2 = 8$

$2u^2 - 8u + 8 = 0$

$u^2 - 4u + 4 = 0$

Это уравнение сворачивается в полный квадрат $(u-2)^2 = 0$, у которого есть единственный корень $u=2$.

Тогда $v = 4 - u = 4 - 2 = 2$.

Значения $u=2, v=2$ удовлетворяют условиям $u \ge 0, v \ge 0$.

Выполняем обратную замену, чтобы найти $\text{x}$ и $\text{y}$: $x = u^2 = 2^2 = 4$ и $y = v^2 = 2^2 = 4$.

Проверка показывает, что решение $(4, 4)$ удовлетворяет исходной системе.

Ответ: $(4, 4)$.