Номер 4.21, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \sqrt{\frac{3y-2x}{y}} + \sqrt{\frac{4y}{3y-2x}} = 2\sqrt{2}, \\ 3(x^2 + 1) = (y+1)(y-x+1); \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sqrt{1-5x} = 5 - \sqrt{5x-3y}, \\ \sqrt{2-3y} - 1 = \sqrt{5x-3y}. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{3y-2x}{y}} + \sqrt{\frac{4y}{3y-2x}} = 2\sqrt{2}, \\ 3(x^2 + 1) = (y+1)(y-x+1); \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения. Выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю:

$\frac{3y-2x}{y} > 0$

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{3y-2x}{y}}$. Так как $\text{t}$ — это значение корня, то $t > 0$.

Тогда первое уравнение примет вид:

$t + \sqrt{\frac{4}{t^2}} = 2\sqrt{2}$

$t + \frac{2}{t} = 2\sqrt{2}$

Умножим обе части на $\text{t}$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 2 = 2\sqrt{2}t$

$t^2 - 2\sqrt{2}t + 2 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - \sqrt{2})^2 = 0$

Отсюда следует, что $t = \sqrt{2}$.

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt{\frac{3y-2x}{y}} = \sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{3y-2x}{y} = 2$

$3y - 2x = 2y$

$y = 2x$

Проверим условие ОДЗ: $\frac{3(2x)-2x}{2x} = \frac{4x}{2x} = 2 > 0$. Условие выполняется при $x \neq 0$ (и, следовательно, $y \neq 0$).

Теперь подставим $y=2x$ во второе уравнение системы:

$3(x^2 + 1) = (2x+1)(2x-x+1)$

$3(x^2 + 1) = (2x+1)(x+1)$

$3x^2 + 3 = 2x^2 + 2x + x + 1$

$3x^2 + 3 = 2x^2 + 3x + 1$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Найдем соответствующие значения $\text{y}$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$.

Оба решения удовлетворяют условию $x \neq 0$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 2), (2; 4)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{1-5x} = 5 - \sqrt{5x-3y}, \\ \sqrt{2-3y} - 1 = \sqrt{5x-3y}. \end{cases} $

Определим ОДЗ:

$1-5x \ge 0 \implies x \le \frac{1}{5}$

$5x-3y \ge 0$

$2-3y \ge 0 \implies y \le \frac{2}{3}$

Из второго уравнения следует $\sqrt{2-3y} - 1 \ge 0$, откуда $\sqrt{2-3y} \ge 1 \implies 2-3y \ge 1 \implies 1 \ge 3y \implies y \le \frac{1}{3}$.

Из первого уравнения следует $5 - \sqrt{5x-3y} \ge 0$, откуда $\sqrt{5x-3y} \le 5 \implies 5x-3y \le 25$.

Сделаем замену. Пусть $u = \sqrt{5x-3y}$. Тогда $0 \le u \le 5$. Система примет вид:

$ \begin{cases} \sqrt{1-5x} = 5 - u, \\ \sqrt{2-3y} = u + 1. \end{cases} $

Возведем оба уравнения в квадрат:

$ \begin{cases} 1-5x = (5 - u)^2 = 25 - 10u + u^2, \\ 2-3y = (u + 1)^2 = u^2 + 2u + 1. \end{cases} $

Выразим $5x$ и $3y$:

$5x = 1 - (25 - 10u + u^2) = -u^2 + 10u - 24$

$3y = 2 - (u^2 + 2u + 1) = -u^2 - 2u + 1$

Теперь воспользуемся определением замены $u^2 = 5x - 3y$:

$u^2 = (-u^2 + 10u - 24) - (-u^2 - 2u + 1)$

$u^2 = -u^2 + 10u - 24 + u^2 + 2u - 1$

$u^2 = 12u - 25$

$u^2 - 12u + 25 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $\text{u}$:

$u = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 100}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 6 \pm \sqrt{11}$.

У нас есть два возможных значения для $\text{u}$. Проверим их по условию $0 \le u \le 5$.

$u_1 = 6 + \sqrt{11}$. Так как $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Тогда $u_1 > 6+3=9$, что не удовлетворяет условию $u \le 5$. Этот корень посторонний.

$u_2 = 6 - \sqrt{11}$. Так как $3 < \sqrt{11} < 4$, то $6-4 < 6 - \sqrt{11} < 6-3$, то есть $2 < u_2 < 3$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le u \le 5$.

Итак, $u = 6 - \sqrt{11}$.

Теперь найдем $\text{x}$ и $\text{y}$.

$5x = -u^2 + 10u - 24$. Из уравнения $u^2 = 12u - 25$, подставим $u^2$:

$5x = -(12u - 25) + 10u - 24 = -12u + 25 + 10u - 24 = -2u + 1$.

$5x = -2(6 - \sqrt{11}) + 1 = -12 + 2\sqrt{11} + 1 = 2\sqrt{11} - 11$.

$x = \frac{2\sqrt{11}-11}{5}$.

$3y = -u^2 - 2u + 1$. Также подставим $u^2 = 12u-25$:

$3y = -(12u - 25) - 2u + 1 = -12u + 25 - 2u + 1 = -14u + 26$.

$3y = -14(6 - \sqrt{11}) + 26 = -84 + 14\sqrt{11} + 26 = 14\sqrt{11} - 58$.

$y = \frac{14\sqrt{11}-58}{3}$.

Полученные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(\frac{2\sqrt{11}-11}{5}; \frac{14\sqrt{11}-58}{3})$.