Номер 4.17, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.17. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x+7}$;

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3(x-1)}$;

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$;

4) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$.

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{4x+7} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \\ 4x+7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge \frac{3}{2} \\ x \ge -\frac{7}{4} \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x \ge \frac{3}{2} $. Это ОДЗ уравнения.

Перепишем уравнение, перенеся один из корней в правую часть, чтобы упростить возведение в квадрат:

$ \sqrt{x+2} = \sqrt{4x+7} + \sqrt{2x-3} $

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат. Так как в ОДЗ ($ x \ge \frac{3}{2} $) обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.

$ (\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{4x+7} + \sqrt{2x-3})^2 $

$ x+2 = (4x+7) + 2\sqrt{(4x+7)(2x-3)} + (2x-3) $

Упростим правую часть:

$ x+2 = 6x+4 + 2\sqrt{8x^2-12x+14x-21} $

$ x+2 = 6x+4 + 2\sqrt{8x^2+2x-21} $

Изолируем оставшийся радикал:

$ (x+2) - (6x+4) = 2\sqrt{8x^2+2x-21} $

$ -5x-2 = 2\sqrt{8x^2+2x-21} $

Для того чтобы это уравнение имело решение, обе его части должны иметь одинаковый знак. Правая часть ($ 2\sqrt{...} $) неотрицательна. Следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной.

$ -5x-2 \ge 0 \implies -5x \ge 2 \implies x \le -\frac{2}{5} $

Мы получили два условия для $ x $:

1. Из ОДЗ: $ x \ge \frac{3}{2} $ (или $ x \ge 1.5 $)

2. Из условия неотрицательности: $ x \le -\frac{2}{5} $ (или $ x \le -0.4 $)

Эти два условия противоречат друг другу, нет такого значения $ x $, которое бы удовлетворяло им одновременно. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: решений нет.

2) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3(x-1)} $.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \\ 3(x-1) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 3 \\ x \ge 1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x \ge 3 $.

Возведем обе части уравнения в квадрат. В ОДЗ обе части неотрицательны.

$ (\sqrt{x} + \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{3x-3})^2 $

$ (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x(x-3)} + (\sqrt{x-3})^2 = 3x-3 $

$ x + 2\sqrt{x^2-3x} + x-3 = 3x-3 $

$ 2x-3 + 2\sqrt{x^2-3x} = 3x-3 $

Изолируем радикал:

$ 2\sqrt{x^2-3x} = (3x-3) - (2x-3) $

$ 2\sqrt{x^2-3x} = x $

Снова возводим в квадрат. Так как $ x \ge 3 $ по ОДЗ, обе части неотрицательны.

$ (2\sqrt{x^2-3x})^2 = x^2 $

$ 4(x^2-3x) = x^2 $

$ 4x^2 - 12x = x^2 $

$ 3x^2 - 12x = 0 $

$ 3x(x-4) = 0 $

Получаем два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 4 $.

Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 3 $):

- $ x_1 = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ 0 < 3 $. Это посторонний корень.

- $ x_2 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 4 \ge 3 $.

Проведем проверку, подставив $ x=4 $ в исходное уравнение:

$ \sqrt{4} + \sqrt{4-3} = \sqrt{3(4-1)} $

$ 2 + \sqrt{1} = \sqrt{3 \cdot 3} $

$ 2 + 1 = \sqrt{9} $

$ 3 = 3 $. Верно.

Ответ: $ x=4 $.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1} $.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 3x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \\ x \ge \frac{1}{3} \end{cases} $

Пересечением является $ x \ge 1 $.

Возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{3x-1})^2 $

$ (x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1) = 3x-1 $

$ 2x + 2\sqrt{x^2-1} = 3x-1 $

Изолируем радикал:

$ 2\sqrt{x^2-1} = (3x-1) - 2x $

$ 2\sqrt{x^2-1} = x-1 $

Для возведения в квадрат нужно, чтобы правая часть была неотрицательной: $ x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 $. Это условие совпадает с нашим ОДЗ.

Возводим в квадрат:

$ (2\sqrt{x^2-1})^2 = (x-1)^2 $

$ 4(x^2-1) = x^2 - 2x + 1 $

$ 4x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1 $

$ 3x^2 + 2x - 5 = 0 $

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{6} $

$ x_1 = \frac{-2+8}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ x_2 = \frac{-2-8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 1 $):

- $ x_1 = 1 $ удовлетворяет ОДЗ.

- $ x_2 = -5/3 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Подставим $ x=1 $ в исходное уравнение:

$ \sqrt{1+1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{3(1)-1} $

$ \sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2} $

$ \sqrt{2} = \sqrt{2} $. Верно.

Ответ: $ x=1 $.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2} $.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 4x+8 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge \frac{2}{3} \\ x \ge -2 \end{cases} $

Пересечением является $ x \ge \frac{2}{3} $.

Заметим, что $ \sqrt{4x+8} = \sqrt{4(x+2)} = 2\sqrt{x+2} $. Подставим это в уравнение:

$ 2\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2} $

Перенесем слагаемые с $ \sqrt{x+2} $ в одну сторону:

$ 2\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2} = \sqrt{3x-2} $

$ \sqrt{x+2} = \sqrt{3x-2} $

Возведем обе части в квадрат (в ОДЗ они обе неотрицательны):

$ (\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x-2})^2 $

$ x+2 = 3x-2 $

$ 2+2 = 3x-x $

$ 4 = 2x $

$ x=2 $

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($ x \ge \frac{2}{3} $).

$ 2 \ge \frac{2}{3} $, условие выполнено.

Подставим $ x=2 $ в исходное уравнение для проверки:

$ \sqrt{4(2)+8} - \sqrt{3(2)-2} = \sqrt{2+2} $

$ \sqrt{16} - \sqrt{4} = \sqrt{4} $

$ 4 - 2 = 2 $

$ 2 = 2 $. Верно.

Ответ: $ x=2 $.