Номер 4.10, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.10. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1, \\ 3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 10; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 2\sqrt{2}, \\ 2\sqrt[4]{x} + 3\sqrt[4]{y} = 8\sqrt{2}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 7, \\ -3\sqrt[4]{x} + 4\sqrt[4]{y} = 6; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 5\sqrt{5}, \\ 5\sqrt{y} - 2\sqrt{x} = \sqrt{5}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1 \\ 3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 10 \end{cases} $$

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a + 2b = 1 \\ 3a - b = 10 \end{cases} $$

Решим полученную систему линейных уравнений. Выразим $\text{b}$ из второго уравнения: $b = 3a - 10$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a + 2(3a - 10) = 1$

$a + 6a - 20 = 1$

$7a = 21$

$a = 3$

Теперь найдем значение $\text{b}$:

$b = 3a - 10 = 3 \cdot 3 - 10 = 9 - 10 = -1$

Вернемся к исходным переменным $\text{x}$ и $\text{y}$:

Поскольку $a = \sqrt[3]{x}$, то $x = a^3 = 3^3 = 27$.

Поскольку $b = \sqrt[3]{y}$, то $y = b^3 = (-1)^3 = -1$.

Проверим полученное решение $(27; -1)$, подставив его в исходную систему:

$\sqrt[3]{27} + 2\sqrt[3]{-1} = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1$.

$3\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{-1} = 3 \cdot 3 - (-1) = 9 + 1 = 10$.

Оба равенства верны.

Ответ: $(27; -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 2\sqrt{2} \\ 2\sqrt[4]{x} + 3\sqrt[4]{y} = 8\sqrt{2} \end{cases} $$

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$. Так как корень четвертой степени является арифметическим, должно выполняться условие $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} 4a - b = 2\sqrt{2} \\ 2a + 3b = 8\sqrt{2} \end{cases} $$

Решим полученную систему. Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять коэффициенты при $\text{a}$:

$$ \begin{cases} 4a - b = 2\sqrt{2} \\ 4a + 6b = 16\sqrt{2} \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(4a + 6b) - (4a - b) = 16\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

$7b = 14\sqrt{2}$

$b = 2\sqrt{2}$

Подставим найденное значение $\text{b}$ в первое уравнение исходной системы для новых переменных:

$4a - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$4a = 4\sqrt{2}$

$a = \sqrt{2}$

Значения $a = \sqrt{2}$ и $b = 2\sqrt{2}$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным $\text{x}$ и $\text{y}$:

$x = a^4 = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$.

$y = b^4 = (2\sqrt{2})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{2})^4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Ответ: $(4; 64)$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 7 \\ -3\sqrt[4]{x} + 4\sqrt[4]{y} = 6 \end{cases} $$

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} 2a + b = 7 \\ -3a + 4b = 6 \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $\text{b}$: $b = 7 - 2a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-3a + 4(7 - 2a) = 6$

$-3a + 28 - 8a = 6$

$-11a = 6 - 28$

$-11a = -22$

$a = 2$

Теперь найдем значение $\text{b}$:

$b = 7 - 2a = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3$

Значения $a=2$ и $b=3$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным $\text{x}$ и $\text{y}$:

$x = a^4 = 2^4 = 16$.

$y = b^4 = 3^4 = 81$.

Ответ: $(16; 81)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 5\sqrt{5} \\ 5\sqrt{y} - 2\sqrt{x} = \sqrt{5} \end{cases} $$

Перепишем систему для удобства:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 5\sqrt{5} \\ -2\sqrt{x} + 5\sqrt{y} = \sqrt{5} \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a + 3b = 5\sqrt{5} \\ -2a + 5b = \sqrt{5} \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:

$$ \begin{cases} 2a + 6b = 10\sqrt{5} \\ -2a + 5b = \sqrt{5} \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(2a + 6b) + (-2a + 5b) = 10\sqrt{5} + \sqrt{5}$

$11b = 11\sqrt{5}$

$b = \sqrt{5}$

Подставим найденное значение $\text{b}$ в первое уравнение ($a + 3b = 5\sqrt{5}$):

$a + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$a = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$

$a = 2\sqrt{5}$

Значения $\text{a}$ и $\text{b}$ неотрицательны.

Вернемся к исходным переменным $\text{x}$ и $\text{y}$:

$x = a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

$y = b^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Ответ: $(20; 5)$.