Номер 4.3, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.3. Определите, является ли число $x_0$ корнем уравнения?

1) $\sqrt{x-2} = \sqrt{2-x}, x_0 = 4;$

2) $\sqrt[3]{2-x} = \sqrt[3]{x-2}, x_0 = 2;$

3) $\sqrt{1-x} = -\sqrt{1+x}, x_0 = 0.$

1) Чтобы определить, является ли число $x_0 = 4$ корнем уравнения $\sqrt{x-2} = \sqrt{2-x}$, нужно проверить, входит ли это число в область допустимых значений (ОДЗ) и обращает ли оно уравнение в верное числовое равенство.

ОДЗ уравнения определяется системой неравенств: $x-2 \ge 0$ и $2-x \ge 0$. Из первого неравенства следует $x \ge 2$, а из второго $x \le 2$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=2$.

Поскольку $x_0 = 4$ не принадлежит ОДЗ (так как $4 > 2$), оно не может быть корнем уравнения. При подстановке $x_0 = 4$ в правую часть уравнения $\sqrt{2-x}$ получается выражение $\sqrt{2-4} = \sqrt{-2}$, которое не определено в множестве действительных чисел.

Ответ: нет.

2) Чтобы определить, является ли число $x_0 = 2$ корнем уравнения $\sqrt[3]{2-x} = \sqrt[3]{x-2}$, подставим это значение в уравнение.

Область допустимых значений (ОДЗ) для корня нечетной степени — все действительные числа, поэтому $x_0=2$ принадлежит ОДЗ.

Выполним подстановку:

Левая часть: $\sqrt[3]{2-2} = \sqrt[3]{0} = 0$.

Правая часть: $\sqrt[3]{2-2} = \sqrt[3]{0} = 0$.

Так как левая часть равна правой ($0=0$), мы получили верное числовое равенство.

Следовательно, $x_0=2$ является корнем уравнения.

Ответ: да.

3) Чтобы определить, является ли число $x_0 = 0$ корнем уравнения $\sqrt{1-x} = -\sqrt{1+x}$, подставим это значение в уравнение.

Сначала проверим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $1-x \ge 0$ и $1+x \ge 0$. Отсюда $x \le 1$ и $x \ge -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$. Число $x_0 = 0$ входит в ОДЗ.

Теперь выполним подстановку:

Левая часть: $\sqrt{1-0} = \sqrt{1} = 1$.

Правая часть: $-\sqrt{1+0} = -\sqrt{1} = -1$.

Сравниваем результаты: $1 = -1$. Это равенство является ложным.

Следовательно, число $x_0 = 0$ не является корнем уравнения.

Ответ: нет.