Номер 4.7, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.7. Найдите решение уравнения с помощью возведения в степень и проверьте результат графическим способом:

1) $\sqrt{x+1}=x-1;$

2) $x+\sqrt{2x+3}=6;$

3) $\sqrt{2x-1}=x-2;$

4) $3+\sqrt{3x+1}=x.$

1)

Решим уравнение $\sqrt{x+1} = x-1$.

Аналитическое решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Кроме того, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Объединяя оба условия, получаем, что корень уравнения должен удовлетворять неравенству $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{x+1})^2 = (x-1)^2$

$x+1 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

- Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, следовательно, это посторонний корень.

- Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 1$. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение: $\sqrt{3+1} = 3-1 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2 = 2$. Равенство верное, значит, $x=3$ является решением.

Графическая проверка:

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \sqrt{x+1}$ и $y_2 = x-1$.

- График $y_1 = \sqrt{x+1}$ — это стандартный график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево по оси Ox.

- График $y_2 = x-1$ — это прямая линия, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки пересечения и есть решение уравнения. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $(3, 2)$. Таким образом, $x=3$.

Ответ: $x=3$.

2)

Решим уравнение $x + \sqrt{2x+3} = 6$.

Аналитическое решение:

Сначала изолируем радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{2x+3} = 6-x$

Найдем ОДЗ: $2x+3 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -3 \Rightarrow x \ge -1.5$. Также правая часть должна быть неотрицательной: $6-x \ge 0 \Rightarrow x \le 6$. Таким образом, решение должно лежать в интервале $[-1.5, 6]$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x+3})^2 = (6-x)^2$

$2x+3 = 36 - 12x + x^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 14x + 33 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение равно 33. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 11$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($[-1.5, 6]$).

- Корень $x_1 = 3$ принадлежит интервалу $[-1.5, 6]$. Проверка подстановкой в исходное уравнение: $3 + \sqrt{2(3)+3} = 3+\sqrt{9} = 3+3=6$. Верно.

- Корень $x_2 = 11$ не принадлежит интервалу $[-1.5, 6]$, так как $11 > 6$. Это посторонний корень.

Графическая проверка:

Построим графики функций $y_1 = \sqrt{2x+3}$ и $y_2 = 6-x$.

- График $y_1 = \sqrt{2x+3}$ — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(-1.5, 0)$.

- График $y_2 = 6-x$ — прямая линия.

Графики пересекаются в точке с абсциссой $x=3$. Это подтверждает наше решение.

Ответ: $x=3$.

3)

Решим уравнение $\sqrt{2x-1} = x-2$.

Аналитическое решение:

ОДЗ: $2x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0.5$. Условие неотрицательности правой части: $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Объединенное условие для корня: $x \ge 2$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-2)^2$

$2x-1 = x^2 - 4x + 4$

Приведем к квадратному уравнению:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 2$.

- Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.

- Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Проверка: $\sqrt{2(5)-1} = 5-2 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3=3$. Верно.

Графическая проверка:

Построим графики функций $y_1 = \sqrt{2x-1}$ и $y_2 = x-2$.

- График $y_1 = \sqrt{2x-1}$ — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0.5, 0)$.

- График $y_2 = x-2$ — прямая линия.

Точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=5$, что подтверждает решение.

Ответ: $x=5$.

4)

Решим уравнение $3 + \sqrt{3x+1} = x$.

Аналитическое решение:

Изолируем корень:

$\sqrt{3x+1} = x-3$

ОДЗ: $3x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/3$. Условие неотрицательности правой части: $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. Объединенное условие: $x \ge 3$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (x-3)^2$

$3x+1 = x^2 - 6x + 9$

Приведем к квадратному уравнению:

$x^2 - 9x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3$.

- Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, это посторонний корень.

- Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Проверка: $3 + \sqrt{3(8)+1} = 3+\sqrt{25} = 3+5=8$. $8=8$. Верно.

Графическая проверка:

Построим графики функций $y_1 = \sqrt{3x+1}$ и $y_2 = x-3$.

- График $y_1 = \sqrt{3x+1}$ — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(-1/3, 0)$.

- График $y_2 = x-3$ — прямая линия.

Графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна 8, что и является решением уравнения.

Ответ: $x=8$.