Номер 4.4, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.4. Найдите ОДЗ уравнения:

1) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+4} = 1;$

2) $\sqrt{x-7} + 3 = \sqrt{5-x};$

3) $\sqrt[3]{2-3x} + \sqrt[3]{3x+5} = 1;$

4) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7} = 5.$

1)

Для нахождения Области Допустимых Значений (ОДЗ) уравнения $ \sqrt{3x+1} - \sqrt{x+4} = 1 $ необходимо, чтобы выражения под знаком квадратного корня были неотрицательными.

Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $ 3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3} $

2) $ x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4 $

ОДЗ является пересечением решений этих двух неравенств, то есть множеством значений $\text{x}$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Так как $ -\frac{1}{3} > -4 $, более строгим является первое условие. Таким образом, пересечение этих множеств - это все числа, которые больше или равны $ -\frac{1}{3} $.

Ответ: $ x \in [-\frac{1}{3}, +\infty) $.

2)

Для уравнения $ \sqrt{x-7} + 3 = \sqrt{5-x} $ ОДЗ определяется неотрицательностью выражений под знаками квадратных корней.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - 7 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

1) $ x - 7 \ge 0 \implies x \ge 7 $

2) $ 5 - x \ge 0 \implies 5 \ge x \implies x \le 5 $

Необходимо найти значения $\text{x}$, для которых одновременно выполняются условия $ x \ge 7 $ и $ x \le 5 $. Не существует ни одного числа, которое было бы одновременно больше или равно 7 и меньше или равно 5. Следовательно, система не имеет решений, и ОДЗ является пустым множеством.

Ответ: $ x \in \emptyset $.

3)

Уравнение $ \sqrt[3]{2-3x} + \sqrt[3]{3x+5} = 1 $ содержит кубические корни.

Корень нечетной степени (в данном случае, третьей) определен для любого действительного числа. Это означает, что подкоренное выражение может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Следовательно, для выражений $ 2-3x $ и $ 3x+5 $ нет никаких ограничений. Переменная $\text{x}$ может принимать любое действительное значение.

Ответ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

4)

Для уравнения $ \sqrt{x+2} + \sqrt{x+7} = 5 $ ОДЗ определяется тем, что выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x + 7 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $ x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 $

2) $ x + 7 \ge 0 \implies x \ge -7 $

ОДЗ является пересечением решений этих двух неравенств. Условие $ x \ge -2 $ является более строгим, чем $ x \ge -7 $, так как любое число, большее или равное -2, также будет больше -7. Таким образом, решением системы является $ x \ge -2 $.

Ответ: $ x \in [-2, +\infty) $.