Работа в группе, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Что можно сказать об ОДЗ уравнения, которое содержит ко-рень нечетной степени?

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех значений переменной, при которых все выражения, входящие в уравнение, имеют смысл.

Ключевое отличие корня нечетной степени от корня четной степени заключается в его области определения. Корень нечетной степени $\text{n}$ (где $n=3, 5, 7, \dots$) из числа $\text{a}$, обозначаемый как $\sqrt[n]{a}$, определен для любого действительного числа $\text{a}$.

Это связано с тем, что любое действительное число, возведенное в нечетную степень, сохраняет свой знак. Например, $2^3 = 8$ и $(-2)^3 = -8$. Поэтому можно найти корень нечетной степени как из положительного, так и из отрицательного числа: $\sqrt[3]{8} = 2$ и $\sqrt[3]{-8} = -2$. Корень из нуля также определен: $\sqrt[n]{0} = 0$.

Таким образом, если в уравнении присутствует выражение вида $\sqrt[2k+1]{f(x)}$, где $2k+1$ — нечетное число, то само по себе это выражение не накладывает на функцию $f(x)$ никаких ограничений. Функция $f(x)$ может принимать любые действительные значения.

Для сравнения, корень четной степени $\sqrt[2k]{f(x)}$ требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $f(x) \ge 0$. Это является существенным ограничением для ОДЗ.

Следовательно, наличие в уравнении только корней нечетной степени не сужает ОДЗ переменной. ОДЗ такого уравнения будет совпадать с ОДЗ подкоренного выражения. Например, для уравнения $\sqrt[3]{x-2} = 5$, ОДЗ определяется областью определения выражения $x-2$, которая является множеством всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). А для уравнения $\sqrt[5]{\frac{1}{x-1}} = 2$, ОДЗ определяется областью определения выражения $\frac{1}{x-1}$, то есть $x-1 \ne 0$, откуда $x \ne 1$. В обоих случаях ограничения на ОДЗ (или их отсутствие) исходят от подкоренного выражения $f(x)$, а не от операции извлечения корня нечетной степени.

Ответ: Наличие в уравнении корня нечетной степени само по себе не вводит никаких ограничений в область допустимых значений (ОДЗ), так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа. ОДЗ уравнения, содержащего корень нечетной степени, зависит только от ограничений, накладываемых другими операциями в уравнении (например, делением на ноль, корнями четной степени, логарифмами) и от области определения самого подкоренного выражения.