Номер 3.101, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.101. Найдите сумму первых 10 членов последовательности, общий член которой задается формулой $a_n = 2^{7-n}$.

Общий член последовательности задается формулой $a_n = 2^{7-n}$. Чтобы найти сумму ее первых 10 членов, необходимо сначала определить тип этой последовательности.

Вычислим первые несколько членов последовательности:

$a_1 = 2^{7-1} = 2^6 = 64$

$a_2 = 2^{7-2} = 2^5 = 32$

$a_3 = 2^{7-3} = 2^4 = 16$

Теперь найдем отношение между соседними членами, чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$

$\frac{a_3}{a_2} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{2}$. Следовательно, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = a_1 = 64$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Сумма первых $\text{n}$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Нам необходимо найти сумму первых 10 членов ($n=10$). Подставим значения $b_1 = 64$, $q = \frac{1}{2}$ и $n = 10$ в формулу:

$S_{10} = \frac{64(1 - (\frac{1}{2})^{10})}{1 - \frac{1}{2}}$

Выполним вычисления. Сначала упростим знаменатель и выражение в скобках:

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

$1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для $S_{10}$:

$S_{10} = \frac{64 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}$

$S_{10} = 64 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot 2 = 128 \cdot \frac{1023}{1024}$

Упростим дробь, учитывая, что $1024 = 128 \cdot 8$:

$S_{10} = \frac{128 \cdot 1023}{128 \cdot 8} = \frac{1023}{8}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{1023}{8} = \frac{1024 - 1}{8} = \frac{1024}{8} - \frac{1}{8} = 128 - \frac{1}{8} = 127 \frac{7}{8}$

Ответ: $127 \frac{7}{8}$.