Номер 3.96, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.96. Найдите первообразные для функции f(x):

1) $f(x) = 1,5x^2 - \frac{4}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{4}{\left(3x^{\frac{1}{3}}\right)^4} + 5x^{\frac{3}{2}}$.

1)

Дана функция $f(x) = 1,5x^2 - \frac{4}{x^2}$.

Для нахождения первообразных необходимо найти неопределенный интеграл от данной функции. Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ — это такая функция, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Сначала преобразуем функцию, чтобы применить правило интегрирования степенной функции:

$f(x) = 1,5x^2 - 4x^{-2}$

Общий вид первообразных находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.

$F(x) = \int (1,5x^2 - 4x^{-2}) dx$

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на два:

$F(x) = \int 1,5x^2 dx - \int 4x^{-2} dx$

Теперь применим формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ для каждого слагаемого.

Для первого слагаемого:

$\int 1,5x^2 dx = 1,5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 1,5 \cdot \frac{x^3}{3} = 0,5x^3$

Для второго слагаемого:

$\int 4x^{-2} dx = 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -4x^{-1} = -\frac{4}{x}$

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $\text{C}$, чтобы получить общее множество всех первообразных:

$F(x) = 0,5x^3 - (-\frac{4}{x}) + C = 0,5x^3 + \frac{4}{x} + C$

Ответ: $F(x) = 0,5x^3 + \frac{4}{x} + C$.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{3(x^{\frac{1}{3}})^4} + 5x^{\frac{3}{2}}$.

Для нахождения первообразных, сначала упростим выражение для функции $f(x)$.

Рассмотрим первое слагаемое. В знаменателе используется свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$3(x^{\frac{1}{3}})^4 = 3x^{\frac{1}{3} \cdot 4} = 3x^{\frac{4}{3}}$

Теперь перепишем функцию в виде, удобном для интегрирования:

$f(x) = \frac{4}{3x^{\frac{4}{3}}} + 5x^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} + 5x^{\frac{3}{2}}$

Найдем первообразную $F(x)$, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} + 5x^{\frac{3}{2}}) dx = \int \frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} dx + \int 5x^{\frac{3}{2}} dx$

Используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для первого слагаемого:

$\int \frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} dx = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} \cdot (-3) \cdot x^{-\frac{1}{3}} = -4x^{-\frac{1}{3}}$

Для второго слагаемого:

$\int 5x^{\frac{3}{2}} dx = 5 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = 5 \cdot \frac{2}{5} \cdot x^{\frac{5}{2}} = 2x^{\frac{5}{2}}$

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $\text{C}$:

$F(x) = -4x^{-\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{5}{2}} + C$

Этот результат можно также представить в виде корней: $F(x) = -\frac{4}{\sqrt[3]{x}} + 2x^2\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = -4x^{-\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{5}{2}} + C$.