Номер 3.93, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.93. Вычислите интегралы:

1) $\int x^7 dx$;

2) $\int x^3 \sqrt[4]{x} dx$;

3) $\int \frac{x^3 + 3x^2 - \sqrt[3]{x} + 1}{x\sqrt{x}} dx$;

4) $\int 5\sqrt{x} dx + \int \frac{6}{x\sqrt{x}} dx$.

1) Для вычисления интеграла от степенной функции $ \int x^7 dx $ используется табличная формула $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $. В данном случае показатель степени $ n=7 $.

Подставляя значение $\text{n}$ в формулу, получаем:

$ \int x^7 dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = \frac{x^8}{8} + C $.

Ответ: $ \frac{x^8}{8} + C $.

2) Сначала преобразуем подынтегральное выражение, представив корень в виде степени и используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ x^3\sqrt[4]{x} = x^3 \cdot x^{1/4} = x^{3 + 1/4} = x^{12/4 + 1/4} = x^{13/4} $.

Теперь вычислим интеграл от полученной степенной функции, используя формулу $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ при $ n=13/4 $:

$ \int x^{13/4} dx = \frac{x^{13/4 + 1}}{13/4 + 1} + C = \frac{x^{17/4}}{17/4} + C = \frac{4}{17}x^{17/4} + C $.

Результат также можно записать в виде $ \frac{4}{17}x^4\sqrt[4]{x} + C $.

Ответ: $ \frac{4}{17}x^{17/4} + C $.

3) Для вычисления интеграла $ \int \frac{x^3 + 3x^2 - \sqrt[3]{x} + 1}{x\sqrt{x}}dx $ сначала упростим подынтегральное выражение. Представим все корни в виде степеней с рациональным показателем:

$ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $

$ x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2} $

Теперь разделим числитель на знаменатель почленно, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^3 + 3x^2 - x^{1/3} + 1}{x^{3/2}} = \frac{x^3}{x^{3/2}} + \frac{3x^2}{x^{3/2}} - \frac{x^{1/3}}{x^{3/2}} + \frac{1}{x^{3/2}} = x^{3 - 3/2} + 3x^{2 - 3/2} - x^{1/3 - 3/2} + x^{-3/2} = x^{3/2} + 3x^{1/2} - x^{-7/6} + x^{-3/2} $

Интегрируем полученную сумму функций, применяя правило интегрирования суммы и формулу для степенной функции:

$ \int (x^{3/2} + 3x^{1/2} - x^{-7/6} + x^{-3/2}) dx = \int x^{3/2}dx + 3\int x^{1/2}dx - \int x^{-7/6}dx + \int x^{-3/2}dx $

$ = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + 3\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-7/6+1}}{-7/6+1} + \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} + C $

$ = \frac{x^{5/2}}{5/2} + 3\frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{-1/6}}{-1/6} + \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C $

$ = \frac{2}{5}x^{5/2} + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - (-6x^{-1/6}) + (-2x^{-1/2}) + C $

$ = \frac{2}{5}x^{5/2} + 2x^{3/2} + 6x^{-1/6} - 2x^{-1/2} + C $.

Ответ: $ \frac{2}{5}x^{5/2} + 2x^{3/2} + 6x^{-1/6} - 2x^{-1/2} + C $.

4) Используем свойство линейности интеграла: $ \int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx $.

Исходное выражение можно записать как один интеграл: $ \int (5\sqrt{x} + \frac{6}{x\sqrt{x}})dx $.

Представим подынтегральные функции в виде степеней:

$ 5\sqrt{x} = 5x^{1/2} $

$ \frac{6}{x\sqrt{x}} = \frac{6}{x^{1} \cdot x^{1/2}} = \frac{6}{x^{3/2}} = 6x^{-3/2} $

Теперь интегрируем сумму: $ \int (5x^{1/2} + 6x^{-3/2})dx = 5\int x^{1/2}dx + 6\int x^{-3/2}dx $.

Вычисляем каждый интеграл, используя формулу для степенной функции:

$ 5 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + 6 \cdot \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + 6 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C $

$ = 5 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + 6 \cdot (-2)x^{-1/2} + C = \frac{10}{3}x^{3/2} - 12x^{-1/2} + C $.

Результат также можно записать с использованием корней: $ \frac{10}{3}x\sqrt{x} - \frac{12}{\sqrt{x}} + C $.

Ответ: $ \frac{10}{3}x^{3/2} - 12x^{-1/2} + C $.