Номер 3.87, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.87. Пользуясь формулой $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1$, найдите интегралы от следующих функций (устное задание):

1) $1,5x^{\frac{1}{2}};$

2) $4x^{\frac{1}{3}};$

3) $4x^{-2,5};$

4) $7x^{\frac{2}{5}}.$

1)

Для нахождения интеграла от функции $1,5x^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся формулой интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Постоянный множитель $1,5$ можно вынести за знак интеграла. В данном случае показатель степени $n = \frac{1}{2}$.

Выполним вычисления:

$\int 1,5x^{\frac{1}{2}} dx = 1,5 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 1,5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = 1,5 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$

Так как $1,5 = \frac{3}{2}$, то получаем:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = x^{\frac{3}{2}} + C$

Ответ: $x^{\frac{3}{2}} + C$

2)

Найдем интеграл от функции $4x^{\frac{1}{3}}$. Здесь постоянный множитель равен $\text{4}$, а показатель степени $n = \frac{1}{3}$. Применяем ту же формулу.

Выполним вычисления:

$\int 4x^{\frac{1}{3}} dx = 4 \int x^{\frac{1}{3}} dx = 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C$

Упростим выражение:

$4 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C = 3x^{\frac{4}{3}} + C$

Ответ: $3x^{\frac{4}{3}} + C$

3)

Найдем интеграл от функции $4x^{-2,5}$. В этом случае постоянный множитель равен $\text{4}$, а показатель степени $n = -2,5$. Формула применима, так как $n \neq -1$.

Выполним вычисления:

$\int 4x^{-2,5} dx = 4 \int x^{-2,5} dx = 4 \cdot \frac{x^{-2,5+1}}{-2,5+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{-1,5}}{-1,5} + C$

Упростим выражение, представив десятичные дроби в виде обыкновенных ($1,5 = \frac{3}{2}$):

$-\frac{4}{1,5} x^{-1,5} + C = -\frac{4}{3/2} x^{-1,5} + C = -4 \cdot \frac{2}{3} x^{-1,5} + C = -\frac{8}{3}x^{-1,5} + C$

Ответ: $-\frac{8}{3}x^{-1,5} + C$

4)

Найдем интеграл от функции $7x^{\frac{2}{5}}$. Здесь постоянный множитель равен $\text{7}$, а показатель степени $n = \frac{2}{5}$.

Выполним вычисления по формуле:

$\int 7x^{\frac{2}{5}} dx = 7 \int x^{\frac{2}{5}} dx = 7 \cdot \frac{x^{\frac{2}{5}+1}}{\frac{2}{5}+1} + C = 7 \cdot \frac{x^{\frac{7}{5}}}{\frac{7}{5}} + C$

Упростим полученное выражение:

$7 \cdot \frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}} + C = 5x^{\frac{7}{5}} + C$

Ответ: $5x^{\frac{7}{5}} + C$