Номер 3.92, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.92. Найдите производную функции в указанной точке:

1) $y = x^{\frac{2}{5}}(2x-2)$, $x_0 = -2$;

2) $y = x^3 (x-5)^{\frac{6}{7}}$, $x_0 = 2$.

1) Дана функция $y = x^{\frac{2}{5}}(2x - 2)$ и точка $x_0 = -2$.

Для нахождения производной, сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$y = x^{\frac{2}{5}} \cdot 2x - x^{\frac{2}{5}} \cdot 2 = 2x^{1+\frac{2}{5}} - 2x^{\frac{2}{5}} = 2x^{\frac{7}{5}} - 2x^{\frac{2}{5}}$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (2x^{\frac{7}{5}} - 2x^{\frac{2}{5}})' = 2 \cdot \frac{7}{5}x^{\frac{7}{5}-1} - 2 \cdot \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1}$

$y' = \frac{14}{5}x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5}x^{-\frac{3}{5}}$.

Подставим значение $x_0 = -2$ в выражение для производной:

$y'(-2) = \frac{14}{5}(-2)^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5}(-2)^{-\frac{3}{5}}$.

Вычислим степени:

$(-2)^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{(-2)^2} = \sqrt[5]{4}$.

$(-2)^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{(-2)^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(-2)^3}} = \frac{1}{\sqrt[5]{-8}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{8}}$.

Подставим эти значения обратно в производную:

$y'(-2) = \frac{14}{5}\sqrt[5]{4} - \frac{4}{5}\left(-\frac{1}{\sqrt[5]{8}}\right) = \frac{14}{5}\sqrt[5]{4} + \frac{4}{5\sqrt[5]{8}}$.

Упростим второе слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{4}{5\sqrt[5]{8}} = \frac{4}{5\sqrt[5]{2^3}} = \frac{4 \cdot \sqrt[5]{2^2}}{5\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{2^2}} = \frac{4\sqrt[5]{4}}{5\sqrt[5]{2^5}} = \frac{4\sqrt[5]{4}}{5 \cdot 2} = \frac{2\sqrt[5]{4}}{5}$.

Теперь сложим слагаемые:

$y'(-2) = \frac{14}{5}\sqrt[5]{4} + \frac{2\sqrt[5]{4}}{5} = \frac{14\sqrt[5]{4} + 2\sqrt[5]{4}}{5} = \frac{16\sqrt[5]{4}}{5}$.

Ответ: $\frac{16\sqrt[5]{4}}{5}$.

2) Дана функция $y = x^3(x - 5)^{\frac{6}{7}}$ и точка $x_0 = 2$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x^3$ и $v = (x-5)^{\frac{6}{7}}$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x^3)' = 3x^2$.

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$v' = ((x-5)^{\frac{6}{7}})' = \frac{6}{7}(x-5)^{\frac{6}{7}-1} \cdot (x-5)' = \frac{6}{7}(x-5)^{-\frac{1}{7}} \cdot 1 = \frac{6}{7}(x-5)^{-\frac{1}{7}}$.

Теперь применим правило произведения:

$y' = u'v + uv' = 3x^2(x-5)^{\frac{6}{7}} + x^3 \cdot \frac{6}{7}(x-5)^{-\frac{1}{7}}$.

Подставим значение $x_0 = 2$ в выражение для производной:

$y'(2) = 3(2)^2(2-5)^{\frac{6}{7}} + \frac{6}{7}(2)^3(2-5)^{-\frac{1}{7}}$

$y'(2) = 12(-3)^{\frac{6}{7}} + \frac{48}{7}(-3)^{-\frac{1}{7}}$.

Вычислим степени:

$(-3)^{\frac{6}{7}} = \sqrt[7]{(-3)^6} = \sqrt[7]{729}$.

$(-3)^{-\frac{1}{7}} = \frac{1}{(-3)^{\frac{1}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{-3}} = -\frac{1}{\sqrt[7]{3}}$.

Подставим эти значения обратно:

$y'(2) = 12\sqrt[7]{729} + \frac{48}{7}\left(-\frac{1}{\sqrt[7]{3}}\right) = 12\sqrt[7]{729} - \frac{48}{7\sqrt[7]{3}}$.

Зная, что $729 = 3^6$, преобразуем выражение. Упростим второе слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{48}{7\sqrt[7]{3}} = \frac{48 \cdot \sqrt[7]{3^6}}{7\sqrt[7]{3} \cdot \sqrt[7]{3^6}} = \frac{48\sqrt[7]{3^6}}{7\sqrt[7]{3^7}} = \frac{48\sqrt[7]{729}}{7 \cdot 3} = \frac{16\sqrt[7]{729}}{7}$.

Теперь найдем разность:

$y'(2) = 12\sqrt[7]{729} - \frac{16\sqrt[7]{729}}{7} = \left(12 - \frac{16}{7}\right)\sqrt[7]{729} = \left(\frac{84 - 16}{7}\right)\sqrt[7]{729} = \frac{68\sqrt[7]{729}}{7}$.

Ответ: $\frac{68\sqrt[7]{729}}{7}$.