Номер 3.86, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.86. Заполните таблицу.

Функция

Преобразуйте

Найдите первообразную

Упростите

$y = \frac{5}{2x^2}$

$y = \frac{5}{2}x^{-2}$

$y' = \frac{5}{2}(-2)x^{-2-1}$

$y' = -5x^{-3}$

$y = \frac{6}{(5x)^3}$

$y = \frac{\pi}{(3x)^{\frac{1}{2}}}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{3x^{-\frac{1}{2}}}$

Для нахождения производной данной функции необходимо последовательно выполнить шаги, аналогичные примеру.

Преобразуйте: Сначала упростим выражение в знаменателе, применив свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(5x)^3 = 5^3 \cdot x^3 = 125x^3$.

Теперь функция имеет вид $y = \frac{6}{125x^3}$.

Далее, используя свойство степеней $ \frac{1}{x^n} = x^{-n} $, представим функцию в виде степенной:

$y = \frac{6}{125}x^{-3}$.

Найдите производную: Воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правилом вынесения постоянного множителя $(cf(x))' = c \cdot f'(x)$.

$y' = \left(\frac{6}{125}x^{-3}\right)' = \frac{6}{125} \cdot (-3)x^{-3-1}$.

Упростите: Выполним арифметические операции.

$y' = -\frac{18}{125}x^{-4}$.

Ответ: $y' = -\frac{18}{125}x^{-4}$.

Преобразуйте: Упростим знаменатель: $(3x)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}x^{\frac{2}{3}}$.

Функция примет вид $y = \frac{\pi}{3^{\frac{2}{3}}x^{\frac{2}{3}}}$.

Представим ее в виде степенной функции $y=cx^n$:

$y = \frac{\pi}{3^{\frac{2}{3}}}x^{-\frac{2}{3}}$.

Найдите производную: Применим те же правила дифференцирования.

$y' = \frac{\pi}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)x^{-\frac{2}{3}-1}$.

Упростите: Умножим коэффициенты и сложим показатели степеней.

$y' = -\frac{2\pi}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}x^{-\frac{2}{3}-\frac{3}{3}} = -\frac{2\pi}{3^{1+\frac{2}{3}}}x^{-\frac{5}{3}}$.

$y' = -\frac{2\pi}{3^{\frac{5}{3}}}x^{-\frac{5}{3}}$.

Ответ: $y' = -\frac{2\pi}{3^{\frac{5}{3}}}x^{-\frac{5}{3}}$.

Преобразуйте: Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.

Функция примет вид $y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3x^{-\frac{1}{2}}}$.

Используем свойство деления степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$:

$y = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$.

Сложим показатели: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2} = \frac{2}{6}+\frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.

Таким образом, $y = \frac{1}{3}x^{\frac{5}{6}}$.

Найдите производную: Применим правило дифференцирования степенной функции.

$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6}-1}$.

Упростите: Выполним вычисления.

$y' = \frac{5}{18}x^{\frac{5}{6}-\frac{6}{6}} = \frac{5}{18}x^{-\frac{1}{6}}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{18}x^{-\frac{1}{6}}$.