Номер 3.82, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.82. При каких значениях $\text{a}$ числа $\sqrt{a}$, $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[4]{a}$ являются членами:

1) арифметической прогрессии;

2) геометрической прогрессии;

3) и арифметической, и геометрической прогрессий?

Данные числа $\sqrt{a}$, $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[4]{a}$ определены для $a \ge 0$. Будем рассматривать значения $\text{a}$ из этого промежутка.

Будем считать, что данные числа являются тремя последовательными членами прогрессии.

1) арифметической прогрессии

Для того чтобы три числа $x_1, x_2, x_3$ были последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы средний член был равен среднему арифметическому крайних членов: $2x_2 = x_1 + x_3$.

В нашем случае $x_1 = \sqrt{a}$, $x_2 = \sqrt[3]{a}$, $x_3 = \sqrt[4]{a}$. Условие принимает вид:

$2\sqrt[3]{a} = \sqrt{a} + \sqrt[4]{a}$

Проверим значение $a=0$: $2\sqrt[3]{0} = \sqrt{0} + \sqrt[4]{0}$, что дает $0=0$. Следовательно, $a=0$ является решением. При $a=0$ числа равны 0, 0, 0 и образуют арифметическую прогрессию.

Рассмотрим случай $a > 0$. Перепишем уравнение в виде степеней:

$2a^{1/3} = a^{1/2} + a^{1/4}$

Сделаем замену. Пусть $x = a^{1/12}$. Так как $a > 0$, то $x > 0$. Тогда $a^{1/4} = x^3$, $a^{1/3} = x^4$, $a^{1/2} = x^6$. Уравнение примет вид:

$2x^4 = x^6 + x^3$

Перенесем все члены в одну часть и вынесем общий множитель:

$x^6 - 2x^4 + x^3 = 0$

$x^3(x^3 - 2x + 1) = 0$

Так как $x>0$, то $x^3 \ne 0$. Следовательно, мы должны решить кубическое уравнение:

$x^3 - 2x + 1 = 0$

Легко заметить, что $x=1$ является корнем, так как $1^3 - 2(1) + 1 = 0$. Разделим многочлен $x^3 - 2x + 1$ на $(x-1)$:

$(x-1)(x^2 + x - 1) = 0$

Отсюда получаем либо $x-1=0$, что дает $x=1$, либо $x^2 + x - 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $x > 0$, нам подходит только положительный корень $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь вернемся к переменной $\text{a}$, используя соотношение $a = x^{12}$.

Если $x=1$, то $a = 1^{12} = 1$. При $a=1$ числа равны 1, 1, 1 и образуют арифметическую прогрессию.

Если $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$, то $a = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{12}$.

Таким образом, числа являются членами арифметической прогрессии при трех значениях $\text{a}$.

Ответ: $a=0$, $a=1$, $a=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{12}$.

2) геометрической прогрессии

Для того чтобы три числа $x_1, x_2, x_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению крайних членов: $x_2^2 = x_1 \cdot x_3$.

В нашем случае это условие записывается как:

$(\sqrt[3]{a})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a}$

Проверим $a=0$: $(\sqrt[3]{0})^2 = \sqrt{0} \cdot \sqrt[4]{0}$, что дает $0=0$. Следовательно, $a=0$ является решением. Числа 0, 0, 0 образуют геометрическую прогрессию.

Рассмотрим случай $a > 0$. Перепишем уравнение в виде степеней:

$a^{2/3} = a^{1/2} \cdot a^{1/4}$

$a^{2/3} = a^{1/2 + 1/4}$

$a^{2/3} = a^{3/4}$

Это равенство истинно, если основание степени $a=1$. При $a=1$ числа равны 1, 1, 1, что является геометрической прогрессией.

Если $a \ne 1$, мы можем приравнять показатели степени:

$\frac{2}{3} = \frac{3}{4}$

$8 = 9$

Это неверное равенство, значит, других решений при $a>0$ нет.

Таким образом, числа являются членами геометрической прогрессии при двух значениях $\text{a}$.

Ответ: $a=0$, $a=1$.

3) и арифметической, и геометрической прогрессии

Чтобы числа являлись членами и арифметической, и геометрической прогрессии, значение $\text{a}$ должно удовлетворять условиям из пунктов 1 и 2 одновременно. Найдем пересечение множеств решений.

Решения для арифметической прогрессии: $\left\{0, 1, \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{12}\right\}$.

Решения для геометрической прогрессии: $\{0, 1\}$.

Пересечением этих двух множеств является $\{0, 1\}$.

Альтернативно, известно, что если три числа образуют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии, то эти числа должны быть равны.

$\sqrt{a} = \sqrt[3]{a} = \sqrt[4]{a}$

Рассмотрим равенство $\sqrt{a} = \sqrt[3]{a}$, или $a^{1/2} = a^{1/3}$. Это возможно при $a=0$ и $a=1$. Для $a>0, a \ne 1$ равенство $1/2 = 1/3$ ложно.

Проверим найденные значения для всего тройного равенства:

При $a=0$: $\sqrt{0} = \sqrt[3]{0} = \sqrt[4]{0}$, то есть $0=0=0$. Верно.

При $a=1$: $\sqrt{1} = \sqrt[3]{1} = \sqrt[4]{1}$, то есть $1=1=1$. Верно.

Следовательно, решениями являются $a=0$ и $a=1$.

Ответ: $a=0$, $a=1$.