Номер 3.77, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.77. Пусть $1 \le a \le 2$. Найдите значение выражения

$\sqrt{a+2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a-2\sqrt{a-1}}$

Для нахождения значения выражения $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a-2\sqrt{a-1}}$ при условии $1 \le a \le 2$, мы упростим каждое из подкоренных выражений, приведя их к виду полного квадрата.

1. Рассмотрим первое слагаемое: $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}$.

Представим выражение под корнем $a+2\sqrt{a-1}$ в виде квадрата суммы. Для этого заметим, что $\text{a}$ можно записать как $(a-1)+1$.

$a+2\sqrt{a-1} = (a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1$.

Это выражение соответствует формуле полного квадрата $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Если взять $x=\sqrt{a-1}$ и $y=1$, то мы получим:

$(\sqrt{a-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1}+1)^2$.

Следовательно, первое слагаемое равно:

$\sqrt{a+2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1}+1)^2} = |\sqrt{a-1}+1|$.

Поскольку $a \ge 1$, то $a-1 \ge 0$, и $\sqrt{a-1} \ge 0$. Значит, $\sqrt{a-1}+1$ всегда положительно. Поэтому модуль можно опустить:

$|\sqrt{a-1}+1| = \sqrt{a-1}+1$.

2. Рассмотрим второе слагаемое: $\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}$.

Аналогично, представим выражение под корнем $a-2\sqrt{a-1}$ в виде квадрата разности.

$a-2\sqrt{a-1} = (a-1) - 2\sqrt{a-1} + 1$.

Это выражение соответствует формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. С теми же $x=\sqrt{a-1}$ и $y=1$ получаем:

$(\sqrt{a-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1}-1)^2$.

Следовательно, второе слагаемое равно:

$\sqrt{a-2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1}-1)^2} = |\sqrt{a-1}-1|$.

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $\sqrt{a-1}-1$. Используем данное в условии неравенство $1 \le a \le 2$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства: $1-1 \le a-1 \le 2-1$, что дает $0 \le a-1 \le 1$.

Извлечем квадратный корень из всех частей: $\sqrt{0} \le \sqrt{a-1} \le \sqrt{1}$, что дает $0 \le \sqrt{a-1} \le 1$.

Вычтем 1 из всех частей последнего неравенства: $0-1 \le \sqrt{a-1}-1 \le 1-1$, что дает $-1 \le \sqrt{a-1}-1 \le 0$.

Так как выражение $\sqrt{a-1}-1$ является неположительным (меньше или равно нулю) в заданном диапазоне для $\text{a}$, то его модуль равен:

$|\sqrt{a-1}-1| = -(\sqrt{a-1}-1) = 1-\sqrt{a-1}$.

3. Теперь сложим упрощенные слагаемые:

$(\sqrt{a-1}+1) + (1-\sqrt{a-1}) = \sqrt{a-1}+1+1-\sqrt{a-1} = 2$.

Члены, содержащие $\sqrt{a-1}$, взаимно уничтожаются.

Ответ: 2.