Номер 3.70, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.70. Вычислите:

1) $\left(27^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{\frac{1}{8}} \cdot 32^{\frac{2}{5}} \cdot 81^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{4}};$

2) $\left(100^{\frac{1}{2}} \cdot 64^{\frac{4}{3}} \cdot 0.25^{0.5} \cdot 16^{-0.75}\right)^{\frac{3}{4}};$

3) $\left(6.25^{0.5} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} \cdot 100^{-\frac{1}{2}} \cdot 0.01^{-1}\right)^{\frac{3}{2}};$

4) $\left(3^{2.5} \cdot \left(3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right) : \left(3^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}\right) : \left(\left(\frac{1}{32}\right) \cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{7}}.$

1) Для вычисления данного выражения, представим основания степеней в виде степеней простых чисел и воспользуемся свойствами степеней.

Исходное выражение: $ \left(27^{\frac{1}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot 32^{\frac{2}{5}} \cdot 81^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{4}} $.

Представим числа 27, 8, 32 и 81 в виде степеней: $ 27=3^3 $, $ 8=2^3 $, $ 32=2^5 $, $ 81=3^4 $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \left((3^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (2^5)^{\frac{2}{5}} \cdot (3^4)^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{4}} $

Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $, упростим выражение в скобках:

$ \left(3^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{5 \cdot \frac{2}{5}} \cdot 3^{4 \cdot \frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(3^1 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3\right)^{\frac{1}{4}} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ \left(3^{1+3} \cdot 2^{1+2}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(3^4 \cdot 2^3\right)^{\frac{1}{4}} $

Теперь применим внешнюю степень, используя свойство $ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $:

$ (3^4)^{\frac{1}{4}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 2^{3 \cdot \frac{1}{4}} = 3^1 \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 3\sqrt[4]{2^3} = 3\sqrt[4]{8} $

Ответ: $ 3\sqrt[4]{8} $.

2) Упростим выражение $ \left(100^{\frac{1}{2}} \cdot 64^{\frac{2}{3}} \cdot 0,25^{0,5} \cdot 16^{-0,75}\right)^{\frac{3}{4}} $, преобразовав десятичные дроби и числа в степени.

Вычислим каждый множитель в скобках по отдельности:

$ 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10 $

$ 64^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16 $

$ 0,25^{0,5} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $

$ 16^{-0,75} = 16^{-\frac{3}{4}} = (2^4)^{-\frac{3}{4}} = 2^{-3} = \frac{1}{8} $

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$ \left(10 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{10 \cdot 16}{16}\right)^{\frac{3}{4}} = 10^{\frac{3}{4}} $

Результат можно записать в виде корня: $ \sqrt[4]{10^3} = \sqrt[4]{1000} $.

Ответ: $ \sqrt[4]{1000} $.

3) Вычислим выражение $ \left(6,25^{0,5} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} \cdot 100^{-\frac{1}{2}} \cdot 0,01^{-1}\right)^{\frac{3}{2}} $.

Преобразуем и вычислим каждый множитель в скобках:

$ 6,25^{0,5} = (2,5^2)^{0,5} = 2,5 = \frac{5}{2} $

$ \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} = 10^2 = 100 $

$ 100^{-\frac{1}{2}} = (10^2)^{-\frac{1}{2}} = 10^{-1} = \frac{1}{10} $

$ 0,01^{-1} = (\frac{1}{100})^{-1} = 100 $

Подставим значения в скобки и вычислим произведение:

$ \left(\frac{5}{2} \cdot 100 \cdot \frac{1}{10} \cdot 100\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{5 \cdot 100 \cdot 100}{2 \cdot 10}\right)^{\frac{3}{2}} = (5 \cdot 50 \cdot 10)^{\frac{3}{2}} = (2500)^{\frac{3}{2}} $

Так как $ 2500 = 50^2 $, то:

$ (50^2)^{\frac{3}{2}} = 50^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 50^3 = 125000 $

Ответ: 125000.

4) Рассмотрим выражение $ \left(3^{2,5} \cdot (3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}) : (3^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}) : \left(\left(\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^2 \right)^{\frac{2}{7}} $.

Упростим выражение в больших скобках. Последовательное деление ":" эквивалентно делению на произведение делителей. Выражение можно записать в виде дроби:

$ \frac{3^{2,5} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{ (3^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}) \cdot \left(\left(\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^2 } $

Упростим последний множитель в знаменателе: $ \left(\left(\frac{1}{2^5} \cdot \frac{1}{3^3}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left((2^5 \cdot 3^3)^{-1}\right)^{\frac{2}{4}} = (2^5 \cdot 3^3)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{5}{2}} \cdot 3^{-\frac{3}{2}} $.

Сгруппируем степени по основаниям 3 и 2 и найдем итоговые показатели степеней.

Для основания 3: $ (2,5 + \frac{1}{2}) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{2}) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{3}{4} - \frac{6}{4}) = 3 - (-\frac{3}{4}) = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4} $.

Для основания 2: $ \frac{1}{3} - (\frac{5}{6} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} - (\frac{5}{6} - \frac{15}{6}) = \frac{1}{3} - (-\frac{10}{6}) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2 $.

Таким образом, выражение в больших скобках равно $ 3^{\frac{15}{4}} \cdot 2^2 $.

Теперь возведем это в степень $ \frac{2}{7} $:

$ (3^{\frac{15}{4}} \cdot 2^2)^{\frac{2}{7}} = 3^{\frac{15}{4} \cdot \frac{2}{7}} \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{7}} = 3^{\frac{15}{14}} \cdot 2^{\frac{4}{7}} $.

Этот результат можно представить в виде корней: $ 3^{1+\frac{1}{14}} \cdot 2^{\frac{8}{14}} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{14}} \cdot 2^{\frac{8}{14}} = 3(3 \cdot 2^8)^{\frac{1}{14}} = 3\sqrt[14]{3 \cdot 256} = 3\sqrt[14]{768} $.

Ответ: $ 3^{\frac{15}{14}} \cdot 2^{\frac{4}{7}} $ или $ 3\sqrt[14]{768} $.