Материалы из истории, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Материалы из истории

Степенная функция широко применяется в науке. Один из примеров ее применения – третий закон Джона Кеплера (1571-1630), исследовавшего движение планет в Солнечной системе. Согласно этому закону, время, за которое планета совершает полный оборот вокруг Солнца (называемое периодом обращения) зависит от расстояния, на которое планета удалена от Солнца. Точнее говоря, если $\text{p}$ – период обращения планеты и $\text{d}$ – расстояние от нее до Солнца, то d³ - р² (квадраты периодов планет Солнечной системы пропорциональны кубам их расстояний от Солнца). Используя кубический корень и введя коэффициент пропорциональности $\text{k}$, данную зависимость можно записать с помощью формулы $d = k \sqrt[3]{p^2}$

Вычислим коэффициент $\text{k}$. Учитывая, что период обращения Земли вокруг Солнца равен 365,25 суток, а расстояние от нее до Солнца равно $1,496 \cdot 10^8$ км, получим: $d = k \sqrt[3]{p^2} \Rightarrow k = \frac{d}{\sqrt[3]{p^2}} = \frac{1,496 \cdot 10^8}{\sqrt[3]{365,25^2}} = 2,928 \cdot 10^7.$

Таким образом, третий закон Кеплера можно записать так: $d = 2,928 \cdot 10^7 \cdot \sqrt[3]{p^2}$

• Как, согласно закону Кеплера, меняется расстояние планет от Солнца при увеличении их периода обращения? Почему?

• Зная, что период обращения планеты Марс вокруг Солнца равен 687 суткам, найдите расстояние от Марса до Солнца. Результат сравните с информацией, найденной в Интернете.

• Расстояние от планеты Венера до Солнца равно $1,082 \times 10^8$ км. Найдите период обращения Венеры.

Как, согласно закону Кеплера, меняется расстояние планет от Солнца при увеличении их периода обращения? Почему?

Согласно закону Кеплера, который описывается формулой $d = k \cdot \sqrt[3]{p^2}$ (или $d = k \cdot p^{2/3}$), расстояние планет от Солнца $\text{d}$ увеличивается при увеличении их периода обращения $\text{p}$.

Причиной этого является прямая степенная зависимость между расстоянием и периодом. В этой формуле коэффициент пропорциональности $\text{k}$ является положительной константой. Функция $y=x^{2/3}$ является возрастающей для положительных $\text{x}$. Следовательно, чем больше значение периода $\text{p}$, тем больше будет значение $p^{2/3}$, и, соответственно, тем больше будет расстояние $\text{d}$.

Ответ: При увеличении периода обращения расстояние планеты от Солнца увеличивается.

Зная, что период обращения планеты Марс вокруг Солнца равен 687 суткам, найдите расстояние от Марса до Солнца. Результат сравните с информацией, найденной в Интернете.

Для нахождения расстояния воспользуемся формулой и значением коэффициента $\text{k}$, приведенными в тексте задачи:

$d = 2,928 \cdot 10^7 \cdot \sqrt[3]{p^2}$

Подставим период обращения Марса $p = 687$ суток:

$d_{Марс} = 2,928 \cdot 10^7 \cdot \sqrt[3]{687^2} = 2,928 \cdot 10^7 \cdot \sqrt[3]{471969}$

Вычислим значение:

$d_{Марс} \approx 2,928 \cdot 10^7 \cdot 77,854 \approx 227,95 \cdot 10^7$ км, что равно $2,2795 \cdot 10^9$ км.

Сравнение с данными из открытых источников (например, NASA): среднее расстояние от Марса до Солнца составляет приблизительно $2,279 \cdot 10^8$ км. Расчетное значение оказалось в 10 раз больше. Это расхождение, по всей видимости, связано с опечаткой в значении коэффициента $\text{k}$ в тексте ($2,928 \cdot 10^7$ вместо корректного $2,928 \cdot 10^6$).

Ответ: Расстояние от Марса до Солнца, согласно приведенной формуле, составляет примерно $2,28 \cdot 10^9$ км.

Расстояние от планеты Венера до Солнца равно $1,082 \times 10^8$ км. Найдите период обращения Венеры.

Воспользуемся той же формулой $d = k \cdot \sqrt[3]{p^2}$ и выразим из нее период $\text{p}$. Для этого возведем обе части в куб, а затем извлечем квадратный корень.

$d^3 = (k \cdot \sqrt[3]{p^2})^3 = k^3 \cdot p^2$

$p^2 = \frac{d^3}{k^3} = \left(\frac{d}{k}\right)^3$

$p = \sqrt{\left(\frac{d}{k}\right)^3}$

Подставим значения для Венеры $d = 1,082 \cdot 10^8$ км и коэффициент $k = 2,928 \cdot 10^7$:

$p_{Венера} = \sqrt{\left(\frac{1,082 \cdot 10^8}{2,928 \cdot 10^7}\right)^3}$

Сначала вычислим отношение в скобках:

$\frac{1,082 \cdot 10^8}{2,928 \cdot 10^7} \approx 3,6954$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$p_{Венера} \approx \sqrt{3,6954^3} \approx \sqrt{50,449} \approx 7,10$ суток.

Ответ: Период обращения Венеры составляет примерно 7,1 суток.