Номер 3.63, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. Сравните числа:

1) $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}$ и $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}}$;

2) $(\frac{7}{4})^{\frac{3}{4}}$ и $(\frac{4}{7})^{0}$;

3) $(\frac{9}{4})^{0.2}$ и $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{6}}$;

4) $0,01^{-0.5}$ и $0,01^{-0.6}$.

1) Для сравнения чисел $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}$ и $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}}$ воспользуемся свойством показательной функции $y=a^x$.

Основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, показательная функция является убывающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели степеней: $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $-\frac{1}{2} = -\frac{3}{6}$ и $-\frac{1}{3} = -\frac{2}{6}$.

Так как $-3 < -2$, то $-\frac{3}{6} < -\frac{2}{6}$, следовательно, $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$.

Поскольку функция убывающая, для значений степеней знак неравенства будет противоположным: $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}} > (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}} > (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}}$.

2) Сравним числа $(\frac{7}{4})^{\frac{3}{4}}$ и $(\frac{4}{7})^0$.

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $(\frac{4}{7})^0 = 1$.

Рассмотрим первое число $(\frac{7}{4})^{\frac{3}{4}}$. Основание степени $a = \frac{7}{4}$ больше 1. Показатель степени $\frac{3}{4}$ является положительным числом.

При возведении числа, большего 1, в положительную степень результат всегда будет больше 1.

Следовательно, $(\frac{7}{4})^{\frac{3}{4}} > 1$.

Таким образом, $(\frac{7}{4})^{\frac{3}{4}} > (\frac{4}{7})^0$.

Ответ: $(\frac{7}{4})^{\frac{3}{4}} > (\frac{4}{7})^0$.

3) Сравним числа $(\frac{9}{4})^{0,2}$ и $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{6}}$.

Для сравнения приведем степени к одному основанию. Заметим, что $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем первое число:

$(\frac{9}{4})^{0,2} = ((\frac{3}{2})^2)^{0,2} = (\frac{3}{2})^{2 \cdot 0,2} = (\frac{3}{2})^{0,4}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $(\frac{3}{2})^{0,4}$ и $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{6}}$.

Основание степени $a = \frac{3}{2}$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. Это значит, что большему показателю соответствует большее значение функции.

Сравним показатели $0,4$ и $\frac{1}{6}$.

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Сравним $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Общий знаменатель 30.

$\frac{2}{5} = \frac{12}{30}$; $\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$.

Так как $12 > 5$, то $\frac{12}{30} > \frac{5}{30}$, следовательно $0,4 > \frac{1}{6}$.

Поскольку функция возрастающая, то $(\frac{3}{2})^{0,4} > (\frac{3}{2})^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $(\frac{9}{4})^{0,2} > (\frac{3}{2})^{\frac{1}{6}}$.

4) Сравним числа $0,01^{-0,5}$ и $0,01^{-0,6}$.

Основание степени $a = 0,01$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция $y=a^x$ является убывающей.

Сравним показатели степеней: $-0,5$ и $-0,6$.

Так как $-0,5 > -0,6$.

Поскольку функция убывающая, большему значению показателя соответствует меньшее значение функции.

Следовательно, $0,01^{-0,5} < 0,01^{-0,6}$.

Ответ: $0,01^{-0,5} < 0,01^{-0,6}$.