Номер 3.57, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. Упростите выражение:

1) $\left(a+b^{\frac{3}{2}} : \sqrt{a}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(1-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\right)^{-\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[10]{(a-b)^8}$;

2) $y \left[ \left( \frac{x\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x^2 y^3}}{\sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2 y}} - \sqrt[4]{xy} \right) : \left( \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} \right) - \sqrt[4]{x} \right]^{-4}$.

1)

Упростим выражение по частям: $\left(a+b^{\frac{3}{2}}:\sqrt{a}\right)^{\frac{1}{5}}\cdot\left(1-\sqrt{\frac{b}{a}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\right)^{-\frac{1}{5}}\cdot\sqrt[10]{(a-b)^8}$

1. Преобразуем первое выражение в скобках:

$a+b^{\frac{3}{2}}:\sqrt{a} = a+\frac{b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a \cdot a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$

Используя формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ для $x=a^{\frac{1}{2}}$ и $y=b^{\frac{1}{2}}$, получаем:

$a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)$

Таким образом, первый сомножитель равен:

$\left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}}\right)^{\frac{1}{5}}$

2. Преобразуем второе выражение в скобках:

$1-\sqrt{\frac{b}{a}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} = 1 - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Приведем к общему знаменателю $\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a-\sqrt{ab} - (\sqrt{ab}-b) + \sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}} = \frac{a-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b+\sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}} = \frac{a-\sqrt{ab}+b}{a-\sqrt{ab}}$

Тогда второй сомножитель с учетом отрицательной степени равен:

$\left(\frac{a-\sqrt{ab}+b}{a-\sqrt{ab}}\right)^{-\frac{1}{5}} = \left(\frac{a-\sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}+b}\right)^{\frac{1}{5}}$

3. Преобразуем третий сомножитель:

$\sqrt[10]{(a-b)^8} = (a-b)^{\frac{8}{10}} = (a-b)^{\frac{4}{5}}$

4. Перемножим первые два сомножителя. Так как у них одинаковая степень $\frac{1}{5}$, можно перемножить их основания:

$\left(\left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}}\right) \cdot \left(\frac{a-\sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}+b}\right)\right)^{\frac{1}{5}}$

Сокращаем $(a-\sqrt{ab}+b)$ и представляем $a-\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$:

$\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})\right)^{\frac{1}{5}} = ((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}))^{\frac{1}{5}} = (a-b)^{\frac{1}{5}}$

5. Умножим полученный результат на третий сомножитель:

$(a-b)^{\frac{1}{5}} \cdot (a-b)^{\frac{4}{5}} = (a-b)^{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}} = (a-b)^1 = a-b$

Ответ: $a-b$

2)

Дано выражение: $y\left[\left(\frac{x\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x^2y^3}}{\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{x^2y}}-\sqrt[4]{xy}\right):\left(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\right)-\sqrt[4]{x}\right]^{-4}$

Для удобства введем замену: пусть $\sqrt[4]{x}=u$ и $\sqrt[4]{y}=v$. Тогда $x=u^4$ и $y=v^4$.

Преобразуем выражение по частям, используя замену:

1. Упростим дробь $\frac{x\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x^2y^3}}{\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{x^2y}}$:

Числитель: $x\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x^2y^3} = u^4 \cdot u + (x^2y^3)^{\frac{1}{4}} = u^5 + ((u^4)^2(v^4)^3)^{\frac{1}{4}} = u^5 + (u^8v^{12})^{\frac{1}{4}} = u^5+u^2v^3$.

Знаменатель: $\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{x^2y} = (x^3)^{\frac{1}{4}}+(x^2y)^{\frac{1}{4}} = ((u^4)^3)^{\frac{1}{4}} + ((u^4)^2 v^4)^{\frac{1}{4}} = (u^{12})^{\frac{1}{4}} + (u^8v^4)^{\frac{1}{4}} = u^3+u^2v$.

Дробь: $\frac{u^5+u^2v^3}{u^3+u^2v} = \frac{u^2(u^3+v^3)}{u^2(u+v)} = \frac{u^3+v^3}{u+v} = \frac{(u+v)(u^2-uv+v^2)}{u+v} = u^2-uv+v^2$.

2. Вычислим выражение в первых скобках: $(\dots)-\sqrt[4]{xy}$

$\sqrt[4]{xy} = (xy)^{\frac{1}{4}} = (u^4v^4)^{\frac{1}{4}} = uv$.

$(u^2-uv+v^2) - uv = u^2-2uv+v^2 = (u-v)^2$.

3. Выполним деление: $(\dots):(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})$

$\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y} = u-v$.

$(u-v)^2 : (u-v) = u-v$.

4. Вычислим выражение в квадратных скобках: $[\dots]-\sqrt[4]{x}$

$\sqrt[4]{x} = u$.

$(u-v) - u = -v$.

5. Подставим результат в исходное выражение:

$y\left[-v\right]^{-4} = y \cdot \frac{1}{(-v)^4} = y \cdot \frac{1}{v^4}$.

Так как $y=v^4$, получаем:

$v^4 \cdot \frac{1}{v^4} = 1$.

Ответ: $\text{1}$