Номер 3.60, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.60. Запишите выражение в виде двучлена:

1) $(x+y)(x-y)(x^2 + y^2)$;

2) $(a+b)(a-b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$.

1) Для того чтобы представить выражение $(x + y)(x - y)(x^2 + y^2)$ в виде двучлена, необходимо последовательно применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(c - d)(c + d) = c^2 - d^2$.

Сначала применим эту формулу к первым двум множителям:

$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.

Еще раз применим формулу разности квадратов, где в качестве $\text{c}$ выступает $x^2$, а в качестве $\text{d}$ – $y^2$:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.

Ответ: $x^4 - y^4$

2) Чтобы упростить выражение $(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$, сгруппируем множители так, чтобы можно было применить формулы суммы и разности кубов.

Перегруппируем множители:

$((a + b)(a^2 - ab + b^2)) \cdot ((a - b)(a^2 + ab + b^2))$.

Произведение в первой паре скобок является формулой суммы кубов: $(c + d)(c^2 - cd + d^2) = c^3 + d^3$.

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Произведение во второй паре скобок является формулой разности кубов: $(c - d)(c^2 + cd + d^2) = c^3 - d^3$.

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Подставив полученные результаты, получим произведение двух двучленов:

$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)$.

Это является формулой разности квадратов, где $c = a^3$ и $d = b^3$:

$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$.

Ответ: $a^6 - b^6$