Номер 3.55, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. Упростите выражение:

$x \sqrt[6]{x^3 y \sqrt{7} - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{x^3 y \sqrt{7} + 4\sqrt{3}}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Объединим два корня в один:

$ \sqrt[6]{x^3y\sqrt{7-4\sqrt{3}}} \cdot \sqrt[6]{x^3y\sqrt{7+4\sqrt{3}}} = \sqrt[6]{(x^3y\sqrt{7-4\sqrt{3}}) \cdot (x^3y\sqrt{7+4\sqrt{3}})} $

Перегруппируем множители под корнем:

$ = \sqrt[6]{(x^3y)^2 \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7+4\sqrt{3}}} = \sqrt[6]{x^6y^2 \cdot \sqrt{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}} $

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для числового выражения под внутренним корнем:

$ \sqrt{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{49 - 16 \cdot 3} = \sqrt{49-48} = \sqrt{1} = 1 $

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$ \sqrt[6]{x^6y^2 \cdot 1} = \sqrt[6]{x^6y^2} $

Теперь необходимо учесть область допустимых значений исходного выражения. Поскольку корень шестой степени (четной степени) должен быть определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$ x^3y\sqrt{7-4\sqrt{3}} \ge 0 $ и $ x^3y\sqrt{7+4\sqrt{3}} \ge 0 $.

Так как $7 = \sqrt{49}$, а $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и следовательно $7-4\sqrt{3} > 0$. Выражение $7+4\sqrt{3}$ также очевидно положительно. Значит, множители $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ и $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ являются положительными числами. Таким образом, для существования корней необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $ x^3y \ge 0 $.

Упростим полученное выражение $\sqrt[6]{x^6y^2}$ с учетом этого условия. Представим корень 6-й степени как корень кубический из корня квадратного:

$ \sqrt[6]{x^6y^2} = \sqrt[3]{\sqrt{x^6y^2}} = \sqrt[3]{|x^3y|} $

Поскольку из области допустимых значений мы знаем, что $ x^3y \ge 0 $, то $ |x^3y| = x^3y $. Следовательно, выражение равно:

$ \sqrt[3]{x^3y} = \sqrt[3]{x^3}\sqrt[3]{y} = x\sqrt[3]{y} $

Ответ: $x\sqrt[3]{y}$