Номер 3.59, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.59. Найдите значение выражения:

1) $(1+\sqrt{a})(1+\sqrt[4]{a})(1+\sqrt[8]{a})(1+\sqrt[16]{a})(1+\sqrt[32]{a})(1-\sqrt[32]{a})$

при $a = 2017$;

2) $(a-\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}+1)$ при $a = 5$.

1)

Упростим выражение $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 + \sqrt[8]{a})(1 + \sqrt[16]{a})(1 + \sqrt[32]{a})(1 - \sqrt[32]{a})$.

Для этого будем последовательно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$, начиная с последних двух множителей.

Произведение последних двух множителей: $(1 + \sqrt[32]{a})(1 - \sqrt[32]{a}) = 1^2 - (\sqrt[32]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{32}} = 1 - a^{\frac{1}{16}} = 1 - \sqrt[16]{a}$.

Теперь выражение принимает вид: $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 + \sqrt[8]{a})(1 + \sqrt[16]{a})(1 - \sqrt[16]{a})$.

Снова применяем формулу к последним двум множителям: $(1 + \sqrt[16]{a})(1 - \sqrt[16]{a}) = 1^2 - (\sqrt[16]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{16}} = 1 - a^{\frac{1}{8}} = 1 - \sqrt[8]{a}$.

Продолжая таким же образом, получаем:

$(1 + \sqrt[8]{a})(1 - \sqrt[8]{a}) = 1 - \sqrt[4]{a}$.

Далее: $(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}) = 1 - \sqrt{a}$.

И наконец: $(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1 - a$.

Таким образом, всё выражение равно $1 - a$. Подставим данное значение $a = 2017$:

$1 - 2017 = -2016$.

Ответ: $-2016$.

2)

Рассмотрим выражение $(a - \sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} + \sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} - \sqrt[4]{a} + 1)$ при $a=5$.

Сначала упростим произведение двух последних скобок. Для этого сгруппируем члены и применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.

$((\sqrt{a} + 1) + \sqrt[4]{a})((\sqrt{a} + 1) - \sqrt[4]{a}) = (\sqrt{a} + 1)^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = (a + 2\sqrt{a} + 1) - \sqrt{a} = a + \sqrt{a} + 1$.

Теперь исходное выражение принимает вид $(a - \sqrt{a} + 1)(a + \sqrt{a} + 1)$.

Это также является выражением, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов, если сгруппировать члены: $((a + 1) - \sqrt{a})((a + 1) + \sqrt{a})$.

Применяя формулу, получаем: $(a+1)^2 - (\sqrt{a})^2 = (a^2 + 2a + 1) - a = a^2 + a + 1$.

Теперь подставим значение $a = 5$ в полученное выражение:

$5^2 + 5 + 1 = 25 + 5 + 1 = 31$.

Ответ: $31$.