Номер 3.53, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.53. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}};$

2) $\frac{\sqrt{b} - \sqrt[3]{a^2}}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}};$

3) $\frac{\sqrt[4]{a^3} + b}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}};$

4) $\frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}};$

5) $\frac{a - b}{\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}};$

6) $\frac{b\sqrt{b} - \sqrt[3]{a^2}}{a^2 + b\sqrt[4]{b}}.$

1)

Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$ воспользуемся формулой разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Представим числитель в виде разности квадратов. Заметим, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{b})^2$.

Пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$. Тогда числитель равен $x^2-y^2$, а знаменатель равен $x-y$.

Дробь принимает вид:

$\frac{x^2-y^2}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y$

Теперь подставим обратно исходные выражения для $\text{x}$ и $\text{y}$:

$x+y = \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}$

Ответ: $\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}$

2)

Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$ (предполагая опечатку в исходном задании) воспользуемся формулой разности квадратов.

Представим числитель $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ как разность квадратов, учитывая, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.

$\sqrt{a}-\sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})$

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})$ в числителе и знаменателе:

$\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}$

Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$

3)

Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[4]{a^3} + b}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}$ воспользуемся формулой суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Заметим, что числитель можно представить в виде суммы кубов: $\sqrt[4]{a^3} = (\sqrt[4]{a})^3$ и $b = (\sqrt[3]{b})^3$.

Пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$. Тогда дробь имеет вид:

$\frac{x^3+y^3}{x+y} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x+y} = x^2-xy+y^2$

Подставляем обратно исходные выражения:

$(\sqrt[4]{a})^2 - \sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = \sqrt{a} - \sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$

4)

Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}$ воспользуемся формулой разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим числитель как разность кубов: $\sqrt{a} = (\sqrt[6]{a})^3$ и $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$.

Пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt{b}$. Дробь принимает вид:

$\frac{x^3-y^3}{x-y} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y} = x^2+xy+y^2$

Подставляем обратно исходные выражения:

$(\sqrt[6]{a})^2 + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + b$

Ответ: $\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + b$

5)

Для сокращения дроби $\frac{a-b}{\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}}$ воспользуемся формулой разности квадратов.

Представим числитель $a-b$ как $(\sqrt[4]{a})^4 - (\sqrt[4]{b})^4$.

Пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[4]{b}$. Дробь принимает вид:

$\frac{x^4-y^4}{y-x}$

Разложим числитель на множители: $x^4-y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.

$\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{y-x} = \frac{-(y-x)(x+y)(x^2+y^2)}{y-x} = -(x+y)(x^2+y^2)$

Подставляем обратно исходные выражения:

$-(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})((\sqrt[4]{a})^2+(\sqrt[4]{b})^2) = -(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

Ответ: $-(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

6)

Для сокращения дроби $\frac{b\sqrt[3]{b} - a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{a^2}}$ (предполагая опечатку в исходном задании) воспользуемся формулой разности квадратов.

Представим числитель и знаменатель в виде степеней: $\frac{b^{4/3} - a^{4/3}}{b^{2/3} - a^{2/3}}$.

Пусть $x = a^{1/3}$ и $y = b^{1/3}$. Тогда дробь примет вид:

$\frac{y^4-x^4}{y^2-x^2}$

Разложим числитель $y^4-x^4$ по формуле разности квадратов: $(y^2-x^2)(y^2+x^2)$.

$\frac{(y^2-x^2)(y^2+x^2)}{y^2-x^2} = y^2+x^2$

Подставляя обратно, получаем:

$(b^{1/3})^2 + (a^{1/3})^2 = b^{2/3} + a^{2/3} = \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{a^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}$