Номер 3.47, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.47. Решите неравенства:

1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{1}{x+2}$;

2) $\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x} > \frac{3}{x-1}$.

1)

Исходное неравенство: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} > \frac{1}{x+2}$.

Перенесем все члены в левую часть неравенства: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} > 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+1)(x+2)$: $\frac{(x+1)(x+2) + x(x+2) - x(x+1)}{x(x+1)(x+2)} > 0$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 2x) - (x^2 + x)}{x(x+1)(x+2)} > 0$ $\frac{x^2 + 4x + 2}{x(x+1)(x+2)} > 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя находятся из уравнения $x^2 + 4x + 2 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$. $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$. Корни: $x_1 = -2 - \sqrt{2}$, $x_2 = -2 + \sqrt{2}$.

Корни знаменателя находятся из уравнения $x(x+1)(x+2) = 0$. Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = -1$, $x_5 = -2$.

Отметим все корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-2 - \sqrt{2}$, $-2$, $-1$, $-2 + \sqrt{2}$, $\text{0}$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знак выражения $\frac{x^2 + 4x + 2}{x(x+1)(x+2)}$ на каждом интервале. При $x > 0$ (например, $x=1$) выражение положительно. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1.

$(0; +\infty)$: +

$(-2 + \sqrt{2}; 0)$: -

$(-1; -2 + \sqrt{2})$: +

$(-2; -1)$: -

$(-2 - \sqrt{2}; -2)$: +

$(-\infty; -2 - \sqrt{2})$: -

Так как знак неравенства "больше", выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-2 - \sqrt{2}; -2) \cup (-1; -2 + \sqrt{2}) \cup (0; +\infty)$.

2)

Исходное неравенство: $\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x} > \frac{3}{x-1}$.

Перенесем все члены в левую часть неравенства: $\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x} - \frac{3}{x-1} > 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)(x-1)$: $\frac{x(x-1) + 2(x+2)(x-1) - 3x(x+2)}{x(x+2)(x-1)} > 0$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{(x^2 - x) + 2(x^2 + x - 2) - (3x^2 + 6x)}{x(x+2)(x-1)} > 0$ $\frac{x^2 - x + 2x^2 + 2x - 4 - 3x^2 - 6x}{x(x+2)(x-1)} > 0$ $\frac{-5x - 4}{x(x+2)(x-1)} > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{5x + 4}{x(x+2)(x-1)} < 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $5x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4/5$.

Корни знаменателя: $x(x+2)(x-1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = 1$.

Отметим все корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-2$, $-4/5$, $\text{0}$, $\text{1}$. Определим знак выражения $\frac{5x + 4}{x(x+2)(x-1)}$ на каждом интервале. При $x > 1$ (например, $x=2$) выражение положительно. Далее знаки чередуются.

$(1; +\infty)$: +

$(0; 1)$: -

$(-4/5; 0)$: +

$(-2; -4/5)$: -

$(-\infty; -2)$: +

Так как знак неравенства "меньше", выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-2; -4/5) \cup (0; 1)$.