Номер 3.46, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. Пусть $x = \frac{a^2+1}{2a}$, где $0 < a < 1$. Упростите выражение

$\frac{(x+1)^{-\frac{1}{2}}}{(x-1)^{-0.5}-(x+1)^{-0.5}}$

Для начала преобразуем данное выражение, используя свойства степеней. Заметим, что $-0.5 = -\frac{1}{2}$.

Исходное выражение: $\frac{(x+1)^{-\frac{1}{2}}}{(x-1)^{-0.5} - (x+1)^{-0.5}} = \frac{(x+1)^{-\frac{1}{2}}}{(x-1)^{-\frac{1}{2}} - (x+1)^{-\frac{1}{2}}}$.

Используя свойство $y^{-n} = \frac{1}{y^n}$ и $y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}$, перепишем выражение:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}} - \frac{1}{\sqrt{x+1}}}$

Чтобы избавиться от многоэтажной дроби, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}$:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot (\sqrt{x-1}\sqrt{x+1})}{(\frac{1}{\sqrt{x-1}} - \frac{1}{\sqrt{x+1}}) \cdot (\sqrt{x-1}\sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x-1}}{\frac{\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} - \frac{\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$

Теперь подставим $x = \frac{a^2 + 1}{2a}$ в выражения $x+1$ и $x-1$.

Найдем $x+1$:

$x+1 = \frac{a^2 + 1}{2a} + 1 = \frac{a^2 + 1 + 2a}{2a} = \frac{(a+1)^2}{2a}$

Найдем $x-1$:

$x-1 = \frac{a^2 + 1}{2a} - 1 = \frac{a^2 + 1 - 2a}{2a} = \frac{(a-1)^2}{2a}$

Поскольку по условию $0 < a < 1$, то $a+1 > 0$ и $2a > 0$, следовательно, $x+1 > 0$. Также $(a-1)^2 > 0$, поэтому $x-1 > 0$. Это означает, что выражения под корнями будут положительными.

Теперь найдем значения $\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{x-1}$:

$\sqrt{x+1} = \sqrt{\frac{(a+1)^2}{2a}} = \frac{\sqrt{(a+1)^2}}{\sqrt{2a}} = \frac{|a+1|}{\sqrt{2a}}$. Так как $a>0$, то $a+1>0$ и $|a+1| = a+1$. Таким образом, $\sqrt{x+1} = \frac{a+1}{\sqrt{2a}}$.

$\sqrt{x-1} = \sqrt{\frac{(a-1)^2}{2a}} = \frac{\sqrt{(a-1)^2}}{\sqrt{2a}} = \frac{|a-1|}{\sqrt{2a}}$. Так как $0 < a < 1$, то $a-1<0$ и $|a-1| = -(a-1) = 1-a$. Таким образом, $\sqrt{x-1} = \frac{1-a}{\sqrt{2a}}$.

Подставим полученные выражения в упрощенную форму дроби $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$:

$\frac{\frac{1-a}{\sqrt{2a}}}{\frac{a+1}{\sqrt{2a}} - \frac{1-a}{\sqrt{2a}}} = \frac{\frac{1-a}{\sqrt{2a}}}{\frac{(a+1)-(1-a)}{\sqrt{2a}}} = \frac{\frac{1-a}{\sqrt{2a}}}{\frac{a+1-1+a}{\sqrt{2a}}} = \frac{\frac{1-a}{\sqrt{2a}}}{\frac{2a}{\sqrt{2a}}}$

Сократим общий знаменатель $\sqrt{2a}$:

$\frac{1-a}{2a}$

Ответ: $\frac{1-a}{2a}$