Вопросы, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как можно определить степень с иррациональным показателем?

2. Напишите формулу сложного радикала.

3. Как показатель корня влияет на область определения?

1. Как можно определить степень с иррациональным показателем?

Степень с иррациональным показателем определяется через предел. Пусть нам нужно найти значение $a^\alpha$, где $a > 0$ — основание, а $\alpha$ — иррациональное число.

Поскольку любое иррациональное число можно с любой точностью приблизить рациональными числами, мы можем построить последовательность рациональных чисел $r_1, r_2, r_3, \dots, r_n, \dots$, которая сходится к $\alpha$. Это означает, что $\lim_{n \to \infty} r_n = \alpha$.

Для каждого рационального показателя $r_n$ значение степени $a^{r_n}$ уже определено (как корень из степени или степень корня). Таким образом, мы получаем новую числовую последовательность $a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3}, \dots, a^{r_n}, \dots$.

Можно доказать, что эта последовательность также сходится к некоторому пределу, и этот предел не зависит от выбора конкретной последовательности рациональных чисел, сходящейся к $\alpha$.

Этот предел и принимается за определение степени с иррациональным показателем:

$a^{\alpha} = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$ при условии, что $\lim_{n \to \infty} r_n = \alpha$ и $a > 0$.

Например, чтобы определить $2^\pi$, мы можем использовать последовательность приближений числа $\pi$: $3, 3.1, 3.14, 3.141, \dots$. Тогда $2^\pi$ будет пределом последовательности $2^3, 2^{3.1}, 2^{3.14}, 2^{3.141}, \dots$.

Ответ: Степень с иррациональным показателем $\alpha$ и положительным основанием $\text{a}$ определяется как предел последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\alpha$.

2. Напишите формулу сложного радикала.

Формула сложного (или двойного) радикала используется для преобразования выражений вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$. Она имеет следующий вид:

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$

Для того чтобы эта формула имела смысл в действительных числах, должны выполняться условия: $A \ge 0$, $B \ge 0$ и $A^2 - B \ge 0$. Знак $\pm$ в левой и правой частях формулы должен совпадать.

Формула особенно полезна, когда выражение $A^2 - B$ является полным квадратом некоторого числа $\text{C}$, то есть $A^2 - B = C^2$. В этом случае формула значительно упрощается и позволяет избавиться от вложенного корня:

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - C}{2}}$

Ответ: Формула сложного радикала: $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$.

3. Как показатель корня влияет на область определения?

Показатель корня $\text{n}$ в выражении $\sqrt[n]{f(x)}$ кардинально влияет на область определения функции, и это влияние зависит от четности или нечетности показателя.

Случай 1: Показатель корня — четное число.

Если $\text{n}$ — четное натуральное число ($n = 2, 4, 6, \dots$), то корень четной степени из отрицательного числа в области действительных чисел не определен. Например, $\sqrt{-4}$ не является действительным числом, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Поэтому для существования корня четной степени необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. То есть, для функции $y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $\text{n}$ — четное, область определения задается неравенством $f(x) \ge 0$.

Для простейшей функции $y = \sqrt[n]{x}$ с четным $\text{n}$ областью определения является промежуток $[0, +\infty)$.

Случай 2: Показатель корня — нечетное число.

Если $\text{n}$ — нечетное натуральное число, большее единицы ($n = 3, 5, 7, \dots$), то корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа, как положительного, так и отрицательного. Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$, потому что $(-2)^3 = -8$.

В этом случае подкоренное выражение может принимать любые действительные значения. Область определения функции $y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $\text{n}$ — нечетное, совпадает с областью определения функции $f(x)$.

Для простейшей функции $y = \sqrt[n]{x}$ с нечетным $\text{n}$ областью определения является множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: Если показатель корня $\text{n}$ — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($f(x) \ge 0$). Если показатель корня $\text{n}$ — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом.