Номер 3.45, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.45. Найдите зависимость между x и y:

1) $\begin{cases} x = t^{\frac{1}{2}}, \\ y = t^{-\frac{1}{2}}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x = t^{\frac{1}{3}}, \\ y = t^{\frac{1}{6}}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x = 3t^{\frac{1}{2}}, \\ y = 2t^{-\frac{1}{3}}; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x = \frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}, \\ y = \frac{1}{3}t^{-\frac{1}{3}}. \end{cases}$

1)

Дана система параметрических уравнений:

$ \begin{cases} x = t^{\frac{1}{2}} \\ y = t^{-\frac{1}{2}} \end{cases} $

Чтобы найти зависимость между $\text{x}$ и $\text{y}$, необходимо исключить параметр $\text{t}$.

Из первого уравнения имеем $x = t^{\frac{1}{2}}$.

Второе уравнение $y = t^{-\frac{1}{2}}$ можно переписать, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Получаем:

$y = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Теперь можно подставить выражение для $t^{\frac{1}{2}}$ из первого уравнения ($\text{x}$) в преобразованное второе уравнение:

$y = \frac{1}{x}$

Рассмотрим область определения. Уравнение $x = t^{\frac{1}{2}}$ эквивалентно $x = \sqrt{t}$. Это означает, что $t \ge 0$. В уравнении $y = t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{t}}$ знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $t \neq 0$. Объединяя условия, получаем $t > 0$. Если $t > 0$, то $x = \sqrt{t} > 0$.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

2)

Дана система параметрических уравнений:

$ \begin{cases} x = t^{\frac{1}{3}} \\ y = t^{\frac{1}{6}} \end{cases} $

Для нахождения зависимости между $\text{x}$ и $\text{y}$ выразим параметр $\text{t}$ из одного уравнения и подставим в другое.

Из первого уравнения $x = t^{\frac{1}{3}}$ выразим $\text{t}$. Для этого возведем обе части уравнения в куб:

$(x)^3 = (t^{\frac{1}{3}})^3 \implies t = x^3$

Теперь подставим полученное выражение для $\text{t}$ во второе уравнение $y = t^{\frac{1}{6}}$:

$y = (x^3)^{\frac{1}{6}}$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим выражение:

$y = x^{3 \cdot \frac{1}{6}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}$

Таким образом, зависимость имеет вид $y = \sqrt{x}$.

Проанализируем область определения. Из уравнения $y = t^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{t}$ следует, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $t \ge 0$. Если $t \ge 0$, то $x = t^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{t} \ge 0$. Следовательно, полученная зависимость верна при $x \ge 0$.

Ответ: $y = \sqrt{x}$.

3)

Дана система параметрических уравнений:

$ \begin{cases} x = 3t^{\frac{1}{2}} \\ y = 2t^{-\frac{1}{3}} \end{cases} $

Выразим степени параметра $\text{t}$ из каждого уравнения.

Из первого уравнения: $t^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3}$.

Из второго уравнения: $t^{-\frac{1}{3}} = \frac{y}{2}$. Используя свойство $a^{-n} = 1/a^n$, получаем $t^{\frac{1}{3}} = (\frac{y}{2})^{-1} = \frac{2}{y}$.

Теперь, чтобы получить выражения для $\text{t}$, возведем первое равенство в квадрат, а второе — в куб:

$(t^{\frac{1}{2}})^2 = (\frac{x}{3})^2 \implies t = \frac{x^2}{9}$

$(t^{\frac{1}{3}})^3 = (\frac{2}{y})^3 \implies t = \frac{8}{y^3}$

Так как левые части обоих равенств равны $\text{t}$, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{x^2}{9} = \frac{8}{y^3}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$x^2 y^3 = 9 \cdot 8$

$x^2 y^3 = 72$

Область определения: из уравнения $x=3t^{\frac{1}{2}}$ следует $t \ge 0$. Из уравнения $y=2t^{-\frac{1}{3}}$ следует $t \neq 0$. Таким образом, $t > 0$. При $t > 0$ имеем $x > 0$ и $y > 0$.

Ответ: $x^2 y^3 = 72$.

4)

Дана система параметрических уравнений:

$ \begin{cases} x = \frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}} \\ y = \frac{1}{3}t^{-\frac{1}{3}} \end{cases} $

Выразим степени параметра $\text{t}$ через $\text{x}$ и $\text{y}$.

Из первого уравнения: $t^{-\frac{1}{2}} = 2x$. Возведем обе части в степень $-1$: $t^{\frac{1}{2}} = (2x)^{-1} = \frac{1}{2x}$.

Из второго уравнения: $t^{-\frac{1}{3}} = 3y$. Возведем обе части в степень $-1$: $t^{\frac{1}{3}} = (3y)^{-1} = \frac{1}{3y}$.

Теперь найдем $\text{t}$ из каждого полученного соотношения. Первое возведем в квадрат, второе — в куб:

$(t^{\frac{1}{2}})^2 = (\frac{1}{2x})^2 \implies t = \frac{1}{4x^2}$

$(t^{\frac{1}{3}})^3 = (\frac{1}{3y})^3 \implies t = \frac{1}{27y^3}$

Приравняем правые части полученных выражений для $\text{t}$:

$\frac{1}{4x^2} = \frac{1}{27y^3}$

Если равны дроби с одинаковыми числителями (равными 1), то равны и их знаменатели:

$4x^2 = 27y^3$

Область определения: так как в уравнения входят $t^{-\frac{1}{2}}$ и $t^{-\frac{1}{3}}$, параметр $\text{t}$ должен быть строго больше нуля ($t > 0$). При $t > 0$ значения $\text{x}$ и $\text{y}$ также будут положительными.

Ответ: $4x^2 = 27y^3$.