Номер 3.41, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.41. Упростите:

1) $(p^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{1}{3}})(p^{\frac{2}{3}} - p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}});$

2) $(b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}})^2 (b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}})^2;$

3) $a + 6a^{\frac{2}{3}} + 12a^{\frac{1}{3}} + 8;$

4) $x^2 - 9x^{\frac{4}{3}} + 27x^{\frac{2}{3}} - 27.$

1) Данное выражение представляет собой произведение суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Для его упрощения воспользуемся формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

В нашем случае, пусть $x = p^{\frac{1}{3}}$ и $y = q^{\frac{1}{3}}$. Тогда $x^2 = (p^{\frac{1}{3}})^2 = p^{\frac{2}{3}}$, $y^2 = (q^{\frac{1}{3}})^2 = q^{\frac{2}{3}}$ и $xy = p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}}$.

Выражение полностью соответствует формуле суммы кубов:

$(p^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{1}{3}})(p^{\frac{2}{3}} - p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}) = (p^{\frac{1}{3}})^3 + (q^{\frac{1}{3}})^3 = p^{\frac{1}{3} \cdot 3} + q^{\frac{1}{3} \cdot 3} = p + q$.

Ответ: $p+q$.

2) Воспользуемся свойством степени $(xy)^n = x^n y^n$, чтобы объединить множители под одним знаком степени:

$(b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}})^2 (b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}})^2 = \left( (b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}})(b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}) \right)^2$.

Выражение в скобках является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Применим эту формулу, где $x = b^{\frac{1}{2}}$ и $y = c^{\frac{1}{2}}$:

$(b^{\frac{1}{2}})^2 - (c^{\frac{1}{2}})^2 = b^{\frac{1}{2} \cdot 2} - c^{\frac{1}{2} \cdot 2} = b - c$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(b-c)^2$.

Ответ: $(b-c)^2$.

3) Данное выражение является разложением куба суммы по формуле $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Давайте определим $\text{x}$ и $\text{y}$. Первый член $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$, а последний член $8=2^3$. Предположим, что $x=a^{\frac{1}{3}}$ и $y=2$.

Проверим остальные члены выражения:

$3x^2y = 3(a^{\frac{1}{3}})^2 \cdot 2 = 3a^{\frac{2}{3}} \cdot 2 = 6a^{\frac{2}{3}}$.

$3xy^2 = 3a^{\frac{1}{3}} \cdot 2^2 = 3a^{\frac{1}{3}} \cdot 4 = 12a^{\frac{1}{3}}$.

Все члены соответствуют формуле разложения куба суммы.

Следовательно, $a + 6a^{\frac{2}{3}} + 12a^{\frac{1}{3}} + 8 = (a^{\frac{1}{3}} + 2)^3$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} + 2)^3$.

4) Данное выражение является разложением куба разности по формуле $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Определим $\text{x}$ и $\text{y}$. Первый член $x^2 = (x^{\frac{2}{3}})^3$, а последний член $-27 = -3^3$. Предположим, что $x=x^{\frac{2}{3}}$ и $y=3$.

Проверим остальные члены выражения:

$3x^2y = 3(x^{\frac{2}{3}})^2 \cdot 3 = 3x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 = 9x^{\frac{4}{3}}$.

$3xy^2 = 3x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^2 = 3x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 = 27x^{\frac{2}{3}}$.

Все члены и их знаки соответствуют формуле разложения куба разности.

Следовательно, $x^2 - 9x^{\frac{4}{3}} + 27x^{\frac{2}{3}} - 27 = (x^{\frac{2}{3}} - 3)^3$.

Ответ: $(x^{\frac{2}{3}} - 3)^3$.