Номер 3.34, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.34. Пусть $x > 0$. Представьте следующие выражения в виде квадрата: $x^6$, $x^{40}$, $x^{-23}$, $x^{-14}$, $x^5$, $x^{-3}$, $\text{x}$, $x^{\frac{1}{4}}$, $x^{-1}$, $x^{\frac{1}{3}}$.

Для того чтобы представить выражение вида $x^k$ в виде квадрата, используется свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Мы ищем такое выражение $x^y$, для которого выполняется равенство $(x^y)^2 = x^k$. Из свойства степеней следует, что $x^{2y} = x^k$, а значит, должно выполняться равенство для показателей: $2y = k$. Отсюда находим $y = k/2$. Таким образом, общая формула для представления в виде квадрата: $x^k = (x^{k/2})^2$. Условие $x > 0$ необходимо для того, чтобы выражения с дробными, отрицательными или иррациональными показателями были корректно определены.

$x^6$ В данном случае показатель степени $k=6$. Чтобы найти показатель степени выражения под квадратом, делим $\text{k}$ на 2: $y = 6/2 = 3$. Следовательно, $x^6 = (x^3)^2$.

Ответ: $(x^3)^2$

$x^{40}$ Здесь показатель степени $k=40$. Показатель для выражения в основании квадрата будет $y = 40/2 = 20$. Таким образом, $x^{40} = (x^{20})^2$.

Ответ: $(x^{20})^2$

$x^{-28}$ Здесь показатель степени $k=-28$. Показатель для выражения в основании квадрата будет $y = -28/2 = -14$. Таким образом, $x^{-28} = (x^{-14})^2$.

Ответ: $(x^{-14})^2$

$x^{-14}$ В данном случае $k=-14$. Показатель степени для основания квадрата равен $y = -14/2 = -7$. Следовательно, $x^{-14} = (x^{-7})^2$.

Ответ: $(x^{-7})^2$

$x^5$ Здесь показатель степени $k=5$. Для основания квадрата показатель будет $y = 5/2$. Таким образом, $x^5 = (x^{5/2})^2$.

Ответ: $(x^{5/2})^2$

$x^{-3}$ Здесь показатель степени $k=-3$. Для основания квадрата показатель будет $y = -3/2$. Таким образом, $x^{-3} = (x^{-3/2})^2$.

Ответ: $(x^{-3/2})^2$

$\text{x}$ Выражение $\text{x}$ можно записать как $x^1$, поэтому $k=1$. Показатель для основания квадрата будет $y = 1/2$. Следовательно, $x = (x^{1/2})^2$.

Ответ: $(x^{1/2})^2$

$x^{\frac{1}{4}}$ В этом случае показатель степени $k=1/4$. Показатель для основания квадрата будет $y = (1/4)/2 = 1/8$. Таким образом, $x^{\frac{1}{4}} = (x^{\frac{1}{8}})^2$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{8}})^2$

$x^{-1}$ Здесь показатель степени $k=-1$. Для основания квадрата показатель будет $y = -1/2$. Таким образом, $x^{-1} = (x^{-1/2})^2$.

Ответ: $(x^{-1/2})^2$

$x^{\frac{1}{8}}$ В последнем случае показатель степени $k=1/8$. Показатель для основания квадрата будет $y = (1/8)/2 = 1/16$. Следовательно, $x^{\frac{1}{8}} = (x^{\frac{1}{16}})^2$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{16}})^2$