Номер 3.31, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.31. Разложите на множители:

1) $x - 2;$

2) $10 - y;$

3) $a^{\frac{1}{16}} - 16;$

4) $9c^{0.3} - 4;$

5) $a^{1.5} - y^2;$

6) $a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} - 49.$

Для разложения на множители во всех заданиях используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) Исходное выражение: $x - 2$.

Чтобы применить формулу разности квадратов, представим каждый член выражения в виде квадрата. Для этого переменные и числа должны быть неотрицательными.

$\text{x}$ можно представить как $(\sqrt{x})^2$ или $(x^{\frac{1}{2}})^2$.

Число $\text{2}$ можно представить как $(\sqrt{2})^2$.

Таким образом, выражение $x - 2$ преобразуется в $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2$.

Теперь применяем формулу разности квадратов, где $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{2}$:

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})$.

Ответ: $(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})$.

2) Исходное выражение: $10 - y$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата, чтобы использовать формулу разности квадратов. Предполагаем, что $y \ge 0$.

Число $10$ можно представить как $(\sqrt{10})^2$.

$\text{y}$ можно представить как $(\sqrt{y})^2$ или $(y^{\frac{1}{2}})^2$.

Выражение $10 - y$ принимает вид $(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{y})^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $a = \sqrt{10}$ и $b = \sqrt{y}$:

$(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{10} - \sqrt{y})(\sqrt{10} + \sqrt{y})$.

Ответ: $(\sqrt{10} - \sqrt{y})(\sqrt{10} + \sqrt{y})$.

3) Исходное выражение: $a^{\frac{1}{16}} - 16$.

Это выражение является разностью квадратов. Представим его в виде $u^2 - v^2$.

Первый член $a^{\frac{1}{16}}$ можно представить как квадрат выражения $(a^{\frac{1}{32}})^2$, так как по свойству степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, имеем $(a^{\frac{1}{32}})^2 = a^{\frac{1}{32} \cdot 2} = a^{\frac{2}{32}} = a^{\frac{1}{16}}$.

Второй член $16$ является квадратом числа $\text{4}$, то есть $16 = 4^2$.

Таким образом, $a^{\frac{1}{16}} - 16 = (a^{\frac{1}{32}})^2 - 4^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $u = a^{\frac{1}{32}}$ и $v = 4$:

$(a^{\frac{1}{32}})^2 - 4^2 = (a^{\frac{1}{32}} - 4)(a^{\frac{1}{32}} + 4)$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{32}} - 4)(a^{\frac{1}{32}} + 4)$.

4) Исходное выражение: $9c^{0.8} - 4$.

Это выражение также является разностью квадратов.

Представим первый член $9c^{0.8}$ в виде квадрата. $9 = 3^2$, а $c^{0.8} = (c^{0.4})^2$, так как $c^{0.4 \cdot 2} = c^{0.8}$.

Следовательно, $9c^{0.8} = (3c^{0.4})^2$.

Второй член $\text{4}$ является квадратом числа $\text{2}$, то есть $4 = 2^2$.

Выражение принимает вид $(3c^{0.4})^2 - 2^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $a = 3c^{0.4}$ и $b = 2$:

$(3c^{0.4})^2 - 2^2 = (3c^{0.4} - 2)(3c^{0.4} + 2)$.

Ответ: $(3c^{0.4} - 2)(3c^{0.4} + 2)$.

5) Исходное выражение: $a^{1.5} - y^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Первый член $a^{1.5}$ представим как квадрат: $a^{1.5} = (a^{0.75})^2$, так как $a^{0.75 \cdot 2} = a^{1.5}$.

Второй член $y^2$ уже является квадратом $\text{y}$.

Выражение принимает вид $(a^{0.75})^2 - y^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $\text{a}$ в формуле равно $a^{0.75}$, а $\text{b}$ в формуле равно $\text{y}$:

$(a^{0.75})^2 - y^2 = (a^{0.75} - y)(a^{0.75} + y)$.

Ответ: $(a^{0.75} - y)(a^{0.75} + y)$.

6) Исходное выражение: $a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} - 49$.

Это разность квадратов.

Представим первый член $a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}$ в виде квадрата. Для этого найдем корень из этого выражения: $\sqrt{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \cdot (b^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}}$.

Таким образом, $a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}})^2$.

Второй член $49$ является квадратом числа $\text{7}$, то есть $49 = 7^2$.

Выражение принимает вид $(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}})^2 - 7^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $\text{a}$ в формуле равно $a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}}$, а $\text{b}$ равно $\text{7}$:

$(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}})^2 - 7^2 = (a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}} - 7)(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}} + 7)$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}} - 7)(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{8}} + 7)$.