Номер 3.24, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.24. Запишите степень с дробным показателем с помощью знака корня:

1) $7^{\frac{5}{3}}$, $5^{\frac{1}{7}}$, $6^{-\frac{1}{8}}$, $10^{-0.5}$;

2) $3x^{\frac{1}{2}}$, $(3x)^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{5}y^{\frac{1}{5}}$, $-y^{-\frac{2}{3}}$;

3) $2.5^{-\frac{2}{3}}$, $(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}$, $0.5^{0.5}$;

4) $(ab)^{\frac{2}{3}}$, $ab^{\frac{2}{3}}$, $(a+b)^{\frac{2}{3}}$, $a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}$;

5) $a^{0.5}$, $b^{1.2}$, $c^{-0.6}$, $d^{-0.6}$;

6) $xy^{-1.5}$, $4(x-y)^{-1.5}$, $2x(x+y)^{-\frac{1}{8}}$;

7) $5x^{\frac{2}{3}}$, $7a^{-1.5}$, $ab^{\frac{5}{8}}$, $(x+y)^{\frac{2}{3}}$;

8) $-3y^{-\frac{1}{2}}$, $-1.2b^{-1.2}$, $(ab)^{\frac{5}{8}}$, $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}$.

1) Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется формула $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Для отрицательных показателей используется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

$7^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{7^5}$.

$5^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{5^1} = \sqrt[7]{5}$.

$6^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{6^1} = \sqrt[8]{6}$.

Для $10^{-0.5}$ сначала преобразуем десятичный показатель в дробь: $-0.5 = -\frac{1}{2}$. Тогда $10^{-0.5} = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7^5}$; $\sqrt[7]{5}$; $\sqrt[8]{6}$; $\frac{1}{\sqrt{10}}$.

2) Применяем определение степени с дробным показателем, обращая внимание на то, к какому выражению относится показатель.

$3x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x}$ (показатель $\frac{1}{2}$ относится только к переменной $\text{x}$).

$(3x)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3x}$ (показатель $\frac{1}{2}$ относится ко всему выражению в скобках $3x$).

$\frac{1}{5}y^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}\sqrt[5]{y}$ (показатель $\frac{1}{5}$ относится только к $\text{y}$).

$-y^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}$ (отрицательный показатель означает обратную величину).

Ответ: $3\sqrt{x}$; $\sqrt{3x}$; $\frac{1}{5}\sqrt[5]{y}$; $-\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}$.

3) Сначала преобразуем десятичные числа и основания в обыкновенные дроби, где это необходимо.

$2,5^{\frac{2}{3}} = (\frac{5}{2})^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(\frac{5}{2})^2} = \sqrt[3]{\frac{25}{4}}$.

$(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}$. Отрицательный показатель степени означает взятие обратной величины от основания, то есть $(\frac{1}{9})^{-1} = 9$. Тогда $(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

$0,5^{0.5}$. Преобразуем показатели и основание в дроби: $0.5 = \frac{1}{2}$. Получаем $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{25}{4}}$; $\text{3}$; $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

4) Важно различать, относится ли показатель ко всему выражению в скобках или к отдельной переменной.

$(ab)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(ab)^2} = \sqrt[3]{a^2b^2}$ (показатель относится ко всему произведению $ab$).

$ab^{\frac{2}{3}} = a\sqrt[3]{b^2}$ (показатель относится только к $\text{b}$).

$(a+b)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(a+b)^2}$ (показатель относится ко всей сумме $a+b$).

$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}$ (показатели относятся к каждому слагаемому отдельно).

Ответ: $\sqrt[3]{a^2b^2}$; $a\sqrt[3]{b^2}$; $\sqrt[3]{(a+b)^2}$; $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}$.

5) Преобразуем десятичные показатели в обыкновенные дроби и затем записываем выражения с помощью знака корня.

$a^{0.5} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$, так как $0.5 = \frac{1}{2}$.

$b^{1.2} = b^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{b^6}$, так как $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

$c^{-0.6} = c^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{c^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{c^3}}$, так как $-0.6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.

$d^{-0.5} = d^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{d^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{d}}$, так как $-0.5 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\sqrt{a}$; $\sqrt[5]{b^6}$; $\frac{1}{\sqrt[5]{c^3}}$; $\frac{1}{\sqrt{d}}$.

6) Преобразуем десятичные показатели в дроби и применяем свойство отрицательной степени.

$xy^{-1.5} = x \cdot y^{-\frac{3}{2}} = x \cdot \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{y^3}}$, так как $-1.5 = -\frac{3}{2}$.

$4(x-y)^{-1.5} = 4(x-y)^{-\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{(x-y)^{\frac{3}{2}}} = \frac{4}{\sqrt{(x-y)^3}}$.

$2x(x+y)^{-\frac{1}{8}} = 2x \cdot \frac{1}{(x+y)^{\frac{1}{8}}} = \frac{2x}{\sqrt[8]{x+y}}$.

Ответ: $\frac{x}{\sqrt{y^3}}$; $\frac{4}{\sqrt{(x-y)^3}}$; $\frac{2x}{\sqrt[8]{x+y}}$.

7) Применяем общие правила преобразования степеней с дробными показателями.

$5x^{\frac{2}{3}} = 5\sqrt[3]{x^2}$.

$7a^{-1.5} = 7a^{-\frac{3}{2}} = \frac{7}{a^{\frac{3}{2}}} = \frac{7}{\sqrt{a^3}}$, так как $-1.5 = -\frac{3}{2}$.

$ab^{\frac{5}{8}} = a\sqrt[8]{b^5}$.

$(x+y)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x+y)^2}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{x^2}$; $\frac{7}{\sqrt{a^3}}$; $a\sqrt[8]{b^5}$; $\sqrt[3]{(x+y)^2}$.

8) Выполняем преобразования для каждого выражения.

$-3y^{-\frac{1}{2}} = -3 \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} = -\frac{3}{\sqrt{y}}$.

$-1,2b^{-1.2} = -1.2 \cdot b^{-\frac{6}{5}} = -1.2 \cdot \frac{1}{b^{\frac{6}{5}}} = -\frac{1.2}{\sqrt[5]{b^6}}$, так как $-1.2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}$.

$(ab)^{\frac{5}{8}} = \sqrt[8]{(ab)^5} = \sqrt[8]{a^5b^5}$.

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2}$.

Ответ: $-\frac{3}{\sqrt{y}}$; $-\frac{1.2}{\sqrt[5]{b^6}}$; $\sqrt[8]{a^5b^5}$; $\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2}$.