Номер 3.30, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.30. Разложите на множители, используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b) \times (a + b)$:

1) $3 - x^2$;

2) $y^4 - 5$;

3) $\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2 - 4$;

4) $y^{\frac{2}{5}} - 9$;

5) $25 - p^{\frac{4}{7}}$;

6) $a - b^{\frac{1}{2}}$.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $3 - x^2$, представим его в виде разности квадратов.

Первый член, $\text{3}$, можно представить как квадрат числа $\sqrt{3}$, то есть $3 = (\sqrt{3})^2$.

Второй член, $x^2$, уже является квадратом $\text{x}$.

Таким образом, в формуле $a^2 - b^2$ имеем $a = \sqrt{3}$ и $b = x$.

Применяем формулу:

$3 - x^2 = (\sqrt{3})^2 - x^2 = (\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)$.

Ответ: $(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)$.

2) Чтобы разложить на множители выражение $y^4 - 5$, представим его в виде разности квадратов.

Первый член, $y^4$, можно представить как квадрат $y^2$, так как $y^4 = (y^2)^2$.

Второй член, $\text{5}$, можно представить как квадрат числа $\sqrt{5}$, то есть $5 = (\sqrt{5})^2$.

Таким образом, в формуле $a^2 - b^2$ имеем $a = y^2$ и $b = \sqrt{5}$.

Применяем формулу:

$y^4 - 5 = (y^2)^2 - (\sqrt{5})^2 = (y^2 - \sqrt{5})(y^2 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(y^2 - \sqrt{5})(y^2 + \sqrt{5})$.

3) Чтобы разложить на множители выражение $(x^{\frac{1}{3}})^2 - 4$, заметим, что оно уже частично представлено в виде разности квадратов.

Первый член — это $(x^{\frac{1}{3}})^2$.

Второй член, $\text{4}$, можно представить как $2^2$.

Таким образом, в формуле $a^2 - b^2$ имеем $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 2$.

Применяем формулу:

$(x^{\frac{1}{3}})^2 - 4 = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 2^2 = (x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{1}{3}} + 2)$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{1}{3}} + 2)$.

4) Чтобы разложить на множители выражение $y^{\frac{2}{5}} - 9$, представим его в виде разности квадратов.

Первый член, $y^{\frac{2}{5}}$, можно представить как квадрат $y^{\frac{1}{5}}$, так как по свойству степеней $(a^m)^n=a^{mn}$, имеем $(y^{\frac{1}{5}})^2 = y^{\frac{1}{5} \cdot 2} = y^{\frac{2}{5}}$.

Второй член, $\text{9}$, является квадратом числа $\text{3}$, то есть $9 = 3^2$.

Таким образом, в формуле $a^2 - b^2$ имеем $a = y^{\frac{1}{5}}$ и $b = 3$.

Применяем формулу:

$y^{\frac{2}{5}} - 9 = (y^{\frac{1}{5}})^2 - 3^2 = (y^{\frac{1}{5}} - 3)(y^{\frac{1}{5}} + 3)$.

Ответ: $(y^{\frac{1}{5}} - 3)(y^{\frac{1}{5}} + 3)$.

5) Чтобы разложить на множители выражение $25 - p^{\frac{4}{7}}$, представим его в виде разности квадратов.

Первый член, $25$, является квадратом числа $\text{5}$, то есть $25 = 5^2$.

Второй член, $p^{\frac{4}{7}}$, можно представить как квадрат $p^{\frac{2}{7}}$, так как $(p^{\frac{2}{7}})^2 = p^{\frac{2}{7} \cdot 2} = p^{\frac{4}{7}}$.

Таким образом, в формуле $a^2 - b^2$ имеем $a = 5$ и $b = p^{\frac{2}{7}}$.

Применяем формулу:

$25 - p^{\frac{4}{7}} = 5^2 - (p^{\frac{2}{7}})^2 = (5 - p^{\frac{2}{7}})(5 + p^{\frac{2}{7}})$.

Ответ: $(5 - p^{\frac{2}{7}})(5 + p^{\frac{2}{7}})$.

6) Чтобы разложить на множители выражение $a - b^{\frac{1}{2}}$, представим его в виде разности квадратов.

Первый член, $\text{a}$, можно представить как квадрат $a^{\frac{1}{2}}$ (или $\sqrt{a}$), так как $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$.

Второй член, $b^{\frac{1}{2}}$, можно представить как квадрат $b^{\frac{1}{4}}$, так как $(b^{\frac{1}{4}})^2 = b^{\frac{1}{4} \cdot 2} = b^{\frac{2}{4}} = b^{\frac{1}{2}}$.

Таким образом, в формуле разности квадратов $c^2 - d^2 = (c - d)(c + d)$ имеем $c = a^{\frac{1}{2}}$ и $d = b^{\frac{1}{4}}$.

Применяем формулу:

$a - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{4}})$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{4}})$.