Номер 3.27, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.27. Упростив выражение, запишите его в виде степени с рациональным показателем:

1) $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}};$

2) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}};$

3) $x^{0.2} \cdot x^{-1} \cdot x^{0.6};$

4) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{5}{3}};$

5) $y^{0.8} \cdot y^{-5} \cdot y^{7.2};$

6) $\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}};$

7) $\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{4}{9}};$

8) $\left(x^{0.1}\right)^{-2.5};$

9) $\left(y^{-0.5}\right)^{-1};$

10) $\frac{x^{\frac{3}{7}} \cdot x^{\frac{5}{21}}}{x^{\frac{1}{6}}};$

11) $\frac{a^{5.2} \cdot a^{-0.8}}{a \cdot a^{0.9}}$;

12) $\frac{b^{0.2} \cdot b^{0.5}}{b^{-1.5} \cdot b^{3}}.$

1)Для упрощения выражения $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Таким образом, мы складываем показатели $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приводим дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. В результате получаем $c^{\frac{5}{6}}$.

Ответ: $c^{\frac{5}{6}}$.

2)При умножении степеней $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$ с одинаковым основанием $\text{b}$ их показатели складываются: $b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}$. Для сложения показателей приведем дроби к общему знаменателю 6: $-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$. Таким образом, выражение упрощается до $b^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$.

3)Для упрощения выражения $x^{0.2} \cdot x^{-1} \cdot x^{0.6}$ необходимо сложить все показатели, так как основания степеней одинаковы: $x^{0.2 + (-1) + 0.6}$. Выполняем сложение: $0.2 - 1 + 0.6 = 0.8 - 1 = -0.2$. В результате получаем $x^{-0.2}$.

Ответ: $x^{-0.2}$.

4)В выражении $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{5}{3}}$ все множители имеют одинаковое основание $\text{a}$. Следовательно, мы можем сложить их показатели: $a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{5}{3}}$. Приводим дроби к общему знаменателю 6: $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} + \frac{10}{6} = \frac{15}{6}$. Сокращаем дробь: $\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$. Итоговое выражение: $a^{\frac{5}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{5}{2}}$.

5)Для упрощения выражения $y^{0.8} \cdot y^{-5} \cdot y^{7.2}$ складываем показатели степеней, так как основания одинаковы: $y^{0.8 + (-5) + 7.2}$. Выполняем вычисления: $0.8 - 5 + 7.2 = -4.2 + 7.2 = 3$. Результат: $y^3$.

Ответ: $y^3$.

6)Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$ используется свойство возведения степени в степень, согласно которому показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Перемножаем показатели: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. Таким образом, выражение равно $a^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{6}}$.

7)В выражении $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{9}}$ мы возводим степень в степень. По свойству степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, мы должны перемножить показатели: $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9}$. Выполняем умножение и сокращение дроби: $\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. В результате получаем $a^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$.

8)Для упрощения $(x^{0.1})^{-2.5}$ применяем правило возведения степени в степень, перемножая показатели: $x^{0.1 \cdot (-2.5)}$. Вычисляем произведение: $0.1 \cdot (-2.5) = -0.25$. Итоговое выражение: $x^{-0.25}$.

Ответ: $x^{-0.25}$.

9)При возведении степени в степень, как в выражении $(y^{-0.5})^{-1}$, показатели перемножаются: $y^{-0.5 \cdot (-1)}$. Произведение показателей равно $-0.5 \cdot (-1) = 0.5$. Таким образом, выражение упрощается до $y^{0.5}$.

Ответ: $y^{0.5}$.

10)Сначала упростим числитель дроби $\frac{x^{\frac{3}{7}} \cdot x^{\frac{5}{21}}}{x^{\frac{1}{6}}}$, сложив показатели: $x^{\frac{3}{7} + \frac{5}{21}} = x^{\frac{9}{21} + \frac{5}{21}} = x^{\frac{14}{21}} = x^{\frac{2}{3}}$. Теперь выражение имеет вид $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Результат: $x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$.

11)Упростим числитель и знаменатель дроби $\frac{a^{5.2} \cdot a^{-0.8}}{a \cdot a^{0.9}}$ по отдельности. В числителе: $a^{5.2} \cdot a^{-0.8} = a^{5.2 - 0.8} = a^{4.4}$. В знаменателе (учитывая, что $a = a^1$): $a^1 \cdot a^{0.9} = a^{1 + 0.9} = a^{1.9}$. Теперь делим степени, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя: $\frac{a^{4.4}}{a^{1.9}} = a^{4.4 - 1.9} = a^{2.5}$.

Ответ: $a^{2.5}$.

12)Для упрощения дроби $\frac{b^{0.2} \cdot b^{0.5}}{b^{-1.5} \cdot b^3}$ сначала выполним умножение в числителе и знаменателе. Числитель: $b^{0.2} \cdot b^{0.5} = b^{0.2 + 0.5} = b^{0.7}$. Знаменатель: $b^{-1.5} \cdot b^3 = b^{-1.5 + 3} = b^{1.5}$. Теперь выражение имеет вид $\frac{b^{0.7}}{b^{1.5}}$. При делении степеней вычитаем показатели: $b^{0.7 - 1.5} = b^{-0.8}$.

Ответ: $b^{-0.8}$.