Номер 3.23, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.23. Постройте график уравнения $x^2 - 2x + y^2 + 4y - 20 = 0$.

Данное уравнение $x^2 - 2x + y^2 + 4y - 20 = 0$ является уравнением второго порядка. Чтобы определить вид кривой, которую оно задает, и построить ее график, приведем уравнение к каноническому виду. Заметим, что коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ равны, что характерно для уравнения окружности.

Стандартный вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $\text{R}$ — радиус.

Для приведения исходного уравнения к этому виду используем метод выделения полного квадрата. Сгруппируем члены с $\text{x}$ и члены с $\text{y}$: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) - 20 = 0$.

Выделим полный квадрат для выражения с $\text{x}$. Для этого добавим и вычтем $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$: $x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1$.

Выделим полный квадрат для выражения с $\text{y}$. Для этого добавим и вычтем $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$: $y^2 + 4y + 4 - 4 = (y + 2)^2 - 4$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $((x - 1)^2 - 1) + ((y + 2)^2 - 4) - 20 = 0$.

Теперь раскроем скобки и перенесем свободные члены в правую часть: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 1 - 4 - 20 = 0$ $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0$ $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$.

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравнивая его со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, находим параметры:

• Координаты центра окружности: $(a, b) = (1, -2)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 25$.
• Радиус окружности: $R = \sqrt{25} = 5$.

Следовательно, график данного уравнения — это окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом 5. Для построения графика необходимо на координатной плоскости отметить центр $(1, -2)$ и начертить окружность радиусом 5 единичных отрезков.

Ответ: Графиком уравнения $x^2 - 2x + y^2 + 4y - 20 = 0$ является окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $R=5$.