Номер 3.16, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. Докажите, что верно следующее равенство:

1) $\sqrt[6]{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{7+4\sqrt{3}} = 1;$

2) $\sqrt[6]{1,5-\sqrt{2}} : \sqrt[3]{\sqrt{2}-1} = \sqrt[6]{0,5}.$

1) Докажем равенство $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{7+4\sqrt{3}} = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Приведем корни к одному показателю, равному 6. Для этого возведем подкоренное выражение первого множителя в квадрат, а показатель корня умножим на 2:

$\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{(2-\sqrt{3})^2} = \sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2}$.

Раскроем скобки под корнем, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

Таким образом, $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} = \sqrt[6]{7-4\sqrt{3}}$.

Теперь исходное выражение в левой части можно записать как:

$\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{7+4\sqrt{3}}$.

Используя свойство произведения корней с одинаковыми показателями $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим множители под одним корнем:

$\sqrt[6]{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}$.

Выражение в скобках является произведением разности и суммы, которое равно разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

В результате получаем: $\sqrt[6]{1} = 1$.

Левая часть равна 1, что соответствует правой части равенства. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{7+4\sqrt{3}} = 1$ верно.

2) Докажем равенство $\sqrt[6]{1,5-\sqrt{2}} : \sqrt[3]{\sqrt{2}-1} = \sqrt[6]{0,5}$.

Преобразуем левую часть равенства. Запишем деление в виде дроби:

$\frac{\sqrt[6]{1,5-\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}}$.

Приведем корни к общему показателю 6. Для этого преобразуем знаменатель:

$\sqrt[3]{\sqrt{2}-1} = \sqrt[3 \cdot 2]{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt[6]{(\sqrt{2}-1)^2}$.

Раскроем скобки в подкоренном выражении знаменателя, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$.

Теперь дробь можно записать так:

$\frac{\sqrt[6]{1,5-\sqrt{2}}}{\sqrt[6]{3 - 2\sqrt{2}}}$.

Используя свойство частного корней с одинаковыми показателями $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$, получаем:

$\sqrt[6]{\frac{1,5-\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}}$.

Упростим подкоренное выражение. Вынесем в знаменателе общий множитель 2 за скобки:

$3 - 2\sqrt{2} = 2(1,5 - \sqrt{2})$.

Тогда дробь под корнем примет вид:

$\frac{1,5-\sqrt{2}}{2(1,5 - \sqrt{2})}$.

Сократив дробь на $(1,5 - \sqrt{2})$, получаем $\frac{1}{2}$ или $0,5$.

В результате все выражение равно $\sqrt[6]{0,5}$.

Левая часть равна $\sqrt[6]{0,5}$, что соответствует правой части равенства. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[6]{1,5-\sqrt{2}} : \sqrt[3]{\sqrt{2}-1} = \sqrt[6]{0,5}$ верно.