Номер 3.9, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.9. Внесите множитель под знак корня:

1) $2\sqrt{3}$;

2) $2\sqrt[3]{5}$;

3) $3\sqrt[4]{\frac{1}{9}}$;

4) $3\sqrt{5}$;

5) $3\sqrt{2}$;

6) $5\sqrt[3]{2}$;

7) $2\sqrt[5]{\frac{1}{8}}$;

8) $b\sqrt[4]{5}, b > 0$.

1) Чтобы внести множитель 2 под знак квадратного корня, необходимо возвести его во вторую степень и умножить на подкоренное выражение. $2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$.

Следовательно, $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Ответ: $\sqrt{12}$

2) Для внесения множителя 2 под знак кубического корня, его необходимо возвести в третью степень: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$.

Тогда, $2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$.

Ответ: $\sqrt[3]{40}$

3) Вносим множитель 3 под знак корня четвертой степени. Для этого возводим 3 в четвертую степень: $3 = \sqrt[4]{3^4} = \sqrt[4]{81}$.

Таким образом, $3\sqrt[4]{\frac{1}{9}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot \frac{1}{9}} = \sqrt[4]{81 \cdot \frac{1}{9}} = \sqrt[4]{\frac{81}{9}} = \sqrt[4]{9}$.

Ответ: $\sqrt[4]{9}$

4) Чтобы внести множитель 3 под знак кубического корня, возводим его в третью степень: $3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27}$.

Следовательно, $3\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{135}$.

Ответ: $\sqrt[3]{135}$

5) Вносим множитель 3 под знак квадратного корня, для этого возводим его в квадрат: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

Тогда, $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Ответ: $\sqrt{18}$

6) Вносим множитель 5 под знак кубического корня, возведя его в куб: $5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125}$.

Тогда, $5\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{250}$.

Ответ: $\sqrt[3]{250}$

7) Для внесения множителя 2 под знак корня пятой степени, возводим 2 в пятую степень: $2 = \sqrt[5]{2^5} = \sqrt[5]{32}$.

Следовательно, $2\sqrt[5]{\frac{1}{8}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt[5]{32 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt[5]{\frac{32}{8}} = \sqrt[5]{4}$.

Ответ: $\sqrt[5]{4}$

8) Множитель $\text{b}$ вносится под знак корня четвертой степени. Так как по условию $b > 0$, мы можем записать $b = \sqrt[4]{b^4}$.

Тогда, $b\sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{b^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{5b^4}$. Условие $b > 0$ является существенным, так как корень четной степени извлекается из неотрицательного числа, и результат также является неотрицательным.

Ответ: $\sqrt[4]{5b^4}$