Номер 3.13, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. Буквами обозначены положительные числа. Вынесите множитель из-под знака корня.

1) $\sqrt{16x^2y}$;

2) $\sqrt[4]{81ab^4}$;

3) $\sqrt[3]{125a^5x^3}$;

4) $\sqrt[3]{64b^{12} \cdot y^7}$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно точно извлечь корень второй степени.

$\sqrt{16x^2y} = \sqrt{16 \cdot x^2 \cdot y}$

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $\text{a}$ и $\text{b}$):

$\sqrt{16 \cdot x^2 \cdot y} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y}$

Так как $16 = 4^2$, то $\sqrt{16} = 4$. По условию $\text{x}$ - положительное число ($x>0$), поэтому $\sqrt{x^2} = x$. Множитель $\text{y}$ остается под знаком корня.

$4 \cdot x \cdot \sqrt{y} = 4x\sqrt{y}$

Ответ: $4x\sqrt{y}$

2) Вынесем множитель из-под знака корня четвертой степени. Для этого найдем в подкоренном выражении множители, являющиеся четвертыми степенями чисел или переменных.

$\sqrt[4]{81ab^4} = \sqrt[4]{81 \cdot a \cdot b^4}$

Поскольку $81 = 3^4$, мы можем вынести этот множитель.

Применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[4]{81 \cdot a \cdot b^4} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b^4}$

По условию, все переменные - положительные числа, поэтому $b > 0$ и $\sqrt[4]{b^4} = b$.

$3 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot b = 3b\sqrt[4]{a}$

Ответ: $3b\sqrt[4]{a}$

3) Вынесем множитель из-под знака кубического корня. Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, которые являются кубами чисел или переменных.

$\sqrt[3]{125a^5x^3} = \sqrt[3]{125 \cdot a^5 \cdot x^3}$

Мы знаем, что $125 = 5^3$. Степени переменных $a^5$ и $x^3$. $x^3$ - это уже точный куб. Представим $a^5$ в виде произведения $a^3 \cdot a^2$, чтобы выделить множитель, являющийся точным кубом.

$\sqrt[3]{5^3 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot x^3} = \sqrt[3]{(5^3 \cdot a^3 \cdot x^3) \cdot a^2}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt[3]{5^3 \cdot a^3 \cdot x^3} \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{(5ax)^3} \cdot \sqrt[3]{a^2} = 5ax\sqrt[3]{a^2}$

Ответ: $5ax\sqrt[3]{a^2}$

4) Вынесем множитель из-под знака кубического корня. Сначала разложим подкоренное выражение на множители, которые являются точными кубами.

Для числа $64$ имеем $64 = 4^3$.

Для переменной $b^{12}$ имеем $b^{12} = b^{3 \cdot 4} = (b^4)^3$.

Для переменной $y^7$ имеем $y^7 = y^{6+1} = y^6 \cdot y = (y^2)^3 \cdot y$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[3]{64b^{12}y^7} = \sqrt[3]{4^3 \cdot (b^4)^3 \cdot (y^2)^3 \cdot y}$

Сгруппируем множители, являющиеся кубами:

$\sqrt[3]{(4b^4y^2)^3 \cdot y}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt[3]{(4b^4y^2)^3} \cdot \sqrt[3]{y} = 4b^4y^2\sqrt[3]{y}$

Ответ: $4b^4y^2\sqrt[3]{y}$