Номер 3.14, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. Буквами обозначены положительные числа. Внесите множитель под знак корня.

1) $a \cdot \sqrt{\frac{5}{a}}$;

2) $x \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{x^2}}$;

3) $b \cdot \sqrt[4]{\frac{3}{b^3}}$;

4) $2c \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{16c^4}}$.

1) По правилу внесения множителя под знак корня, чтобы внести положительный множитель $\text{a}$ под знак квадратного корня, его необходимо возвести в квадрат. Поскольку по условию $a > 0$, мы можем записать $a = \sqrt{a^2}$. Тогда выражение примет вид: $a \cdot \sqrt{\frac{5}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{5}{a}} = \sqrt{\frac{5a^2}{a}}$. Сократив дробь под корнем, получаем: $\sqrt{5a}$. Ответ: $\sqrt{5a}$.

2) Чтобы внести множитель $\text{x}$ под знак кубического корня, его необходимо возвести в куб. Так как по условию $\text{x}$ — положительное число, $x=\sqrt[3]{x^3}$. Выполним внесение множителя: $x \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{x^2}} = \sqrt[3]{x^3 \cdot \frac{8}{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{8x^3}{x^2}}$. Сократив дробь под корнем, получаем: $\sqrt[3]{8x}$. Ответ: $\sqrt[3]{8x}$.

3) Чтобы внести положительный множитель $\text{b}$ под знак корня четвертой степени, его необходимо возвести в четвертую степень. Так как $b > 0$, то $b=\sqrt[4]{b^4}$. Преобразуем исходное выражение: $b \cdot \sqrt[4]{\frac{3}{b^3}} = \sqrt[4]{b^4 \cdot \frac{3}{b^3}} = \sqrt[4]{\frac{3b^4}{b^3}}$. Сократив дробь под корнем, получаем: $\sqrt[4]{3b}$. Ответ: $\sqrt[4]{3b}$.

4) Чтобы внести множитель $2c$ под знак корня пятой степени, его необходимо возвести в пятую степень. Так как $c > 0$, то и $2c > 0$. $(2c)^5 = 2^5 \cdot c^5 = 32c^5$. Следовательно, $2c = \sqrt[5]{32c^5}$. Теперь внесем множитель под знак корня в исходном выражении: $2c \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{16c^4}} = \sqrt[5]{32c^5 \cdot \frac{1}{16c^4}} = \sqrt[5]{\frac{32c^5}{16c^4}}$. Выполним сокращение дроби под корнем: $\sqrt[5]{\frac{32}{16} \cdot \frac{c^5}{c^4}} = \sqrt[5]{2c}$. Ответ: $\sqrt[5]{2c}$.