Номер 3.15, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.15. Пусть $a > 0$. Докажите справедливость следующего равенства:

1) $\sqrt[n+1]{a \sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{a}$;

2) $\sqrt[2n+2]{a^2 \cdot \sqrt[n]{a^2}} = \sqrt[2n]{a^3}$.

1)

Для доказательства или опровержения справедливости равенства $ \sqrt[n+1]{a^n \sqrt{a}} = \sqrt[n]{a} $ преобразуем его левую и правую части к степенному виду с основанием $\text{a}$. Условие $a > 0$ обеспечивает, что все корни и степени определены.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ):

Сначала упростим выражение под внешним корнем: $ a^n \sqrt{a} = a^n \cdot a^{1/2} = a^{n + \frac{1}{2}} = a^{\frac{2n+1}{2}} $.

Теперь применим внешний корень со степенью $n+1$:

ЛЧ $ = \sqrt[n+1]{a^{\frac{2n+1}{2}}} = \left(a^{\frac{2n+1}{2}}\right)^{\frac{1}{n+1}} = a^{\frac{2n+1}{2} \cdot \frac{1}{n+1}} = a^{\frac{2n+1}{2(n+1)}} $.

Преобразуем правую часть равенства (ПЧ):

ПЧ $ = \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $.

Для того чтобы исходное равенство было тождеством, показатели степеней в левой и правой частях должны быть равны для всех $\text{n}$ (где $\text{n}$ - натуральное число, $n \ge 2$):

$ \frac{2n+1}{2(n+1)} = \frac{1}{n} $

Решим это уравнение относительно $\text{n}$:

$ n(2n+1) = 2(n+1) $

$ 2n^2 + n = 2n + 2 $

$ 2n^2 - n - 2 = 0 $

Корни этого квадратного уравнения: $ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+16}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4} $.

Так как $\text{n}$ в показателе корня должно быть натуральным числом, а полученные значения корней уравнения не являются натуральными, исходное равенство не является верным тождеством.

Приведем контрпример. Пусть $n=2$ и $a=4$ (любое $a > 0, a \neq 1$).

ЛЧ: $ \sqrt[2+1]{4^2 \sqrt{4}} = \sqrt[3]{16 \cdot 2} = \sqrt[3]{32} $.

ПЧ: $ \sqrt[2]{4} = 2 $.

Так как $2^3 = 8$, а $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{32}$ находится между 3 и 4, и очевидно не равно 2. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

2)

Для доказательства или опровержения справедливости равенства $ \sqrt[2n+2]{a^2 \cdot \sqrt[n]{a^2}} = \sqrt[2n]{a^3} $ преобразуем обе его части к степенному виду.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ):

Сначала упростим выражение под внешним корнем: $ a^2 \cdot \sqrt[n]{a^2} = a^2 \cdot a^{2/n} = a^{2 + \frac{2}{n}} = a^{\frac{2n+2}{n}} $.

Теперь применим внешний корень со степенью $2n+2$:

ЛЧ $ = \sqrt[2n+2]{a^{\frac{2n+2}{n}}} = \left(a^{\frac{2n+2}{n}}\right)^{\frac{1}{2n+2}} = a^{\frac{2n+2}{n} \cdot \frac{1}{2n+2}} = a^{\frac{1}{n}} $.

Преобразуем правую часть равенства (ПЧ):

ПЧ $ = \sqrt[2n]{a^3} = a^{\frac{3}{2n}} $.

Чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны:

$ \frac{1}{n} = \frac{3}{2n} $

Умножим обе части на $2n$. Так как $\text{n}$ - показатель корня, $\text{n}$ - натуральное число, $n \ge 1$, то $n \neq 0$.

$ 2 = 3 $

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $\text{n}$. Это означает, что исходное равенство неверно ни при каком значении $\text{n}$.

Приведем контрпример. Пусть $n=3$ и $a > 0, a \neq 1$.

ЛЧ, как мы показали, равна $a^{1/n}$, то есть $a^{1/3}$.

ПЧ равна $a^{3/(2n)}$, то есть $a^{3/(2 \cdot 3)} = a^{3/6} = a^{1/2}$.

Так как $1/3 \neq 1/2$, то $a^{1/3} \neq a^{1/2}$ для $a>0, a \neq 1$. Равенство не выполняется.

Ответ: равенство неверно.