Номер 3.18, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.18. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{8x(7+4\sqrt{3})} \cdot \sqrt[3]{2\sqrt{6x}-4\sqrt{2x}} ; $

2) $\frac{a}{2}\sqrt[4]{(a+1)(a^2-1)(1+2a+a^2)} \cdot \left(\frac{a^2+3a+2}{\sqrt{a-1}}\right)^{-1} .$

1)

Запишем исходное выражение: $ \sqrt[6]{8x(7+4\sqrt{3})} \cdot \sqrt[3]{2\sqrt{6x} - 4\sqrt{2x}} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, а подкоренные выражения квадратных корней также должны быть неотрицательны.

Из $ \sqrt{6x} $ и $ \sqrt{2x} $ следует $ x \ge 0 $.

Из $ \sqrt[6]{8x(7+4\sqrt{3})} $ следует $ 8x(7+4\sqrt{3}) \ge 0 $. Так как $ 7+4\sqrt{3} > 0 $, то для выполнения этого условия необходимо $ x \ge 0 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ge 0 $.

Упростим выражение $ 7+4\sqrt{3} $. Представим его в виде полного квадрата $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

$ 7+4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2 $.

Теперь первый множитель принимает вид:

$ \sqrt[6]{8x(7+4\sqrt{3})} = \sqrt[6]{8x(2+\sqrt{3})^2} $.

Упростим выражение под знаком второго корня:

$ 2\sqrt{6x} - 4\sqrt{2x} = 2\sqrt{2x \cdot 3} - 4\sqrt{2x} = 2\sqrt{2x}\sqrt{3} - 4\sqrt{2x} = 2\sqrt{2x}(\sqrt{3}-2) $.

Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ \sqrt{3}-2 < 0 $. Значит, выражение $ 2\sqrt{2x}(\sqrt{3}-2) $ является неположительным при $ x \ge 0 $.

Второй множитель: $ \sqrt[3]{2\sqrt{2x}(\sqrt{3}-2)} $.

Для объединения корней приведем их к одному показателю 6. Для отрицательного числа $ A $ свойство $ \sqrt[3]{A} = \sqrt[6]{A^2} $ неверно. Правильно будет $ \sqrt[3]{A} = -\sqrt[3]{-A} = -\sqrt[6]{(-A)^2} = -\sqrt[6]{A^2} $.

В нашем случае $ A = 2\sqrt{2x}(\sqrt{3}-2) $. Применим свойство:

$ \sqrt[3]{2\sqrt{2x}(\sqrt{3}-2)} = -\sqrt[6]{(2\sqrt{2x}(\sqrt{3}-2))^2} = -\sqrt[6]{4 \cdot 2x \cdot (\sqrt{3}-2)^2} = -\sqrt[6]{8x(2-\sqrt{3})^2} $.

Теперь перемножим оба множителя:

$ \sqrt[6]{8x(2+\sqrt{3})^2} \cdot (-\sqrt[6]{8x(2-\sqrt{3})^2}) = -\sqrt[6]{8x(2+\sqrt{3})^2 \cdot 8x(2-\sqrt{3})^2} $

$ = -\sqrt[6]{64x^2 \cdot ((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}))^2} $

Используем формулу разности квадратов: $ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1 $.

$ = -\sqrt[6]{64x^2 \cdot 1^2} = -\sqrt[6]{64x^2} = -\sqrt[6]{2^6 x^2} = -2\sqrt[6]{x^2} = -2x^{2/6} = -2x^{1/3} = -2\sqrt[3]{x} $.

Ответ: $ -2\sqrt[3]{x} $

2)

Запишем исходное выражение: $ \frac{a}{2} \sqrt[4]{(a+1)(a^2-1)(1+2a+a^2)} \cdot \left(\frac{a^2+3a+2}{\sqrt{a-1}}\right)^{-1} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение $ \sqrt{a-1} $ в знаменателе требует, чтобы $ a-1 > 0 $, то есть $ a > 1 $.

Проверим выражение под корнем четвертой степени: $ (a+1)(a^2-1)(1+2a+a^2) $.

При $ a > 1 $ все множители $ a+1 $, $ a^2-1 $ и $ 1+2a+a^2 = (a+1)^2 $ положительны. Следовательно, их произведение положительно, и корень четвертой степени определен.

Итак, ОДЗ: $ a > 1 $.

Упростим выражение под корнем четвертой степени:

$ (a+1)(a^2-1)(1+2a+a^2) = (a+1)(a-1)(a+1)(a+1)^2 = (a-1)(a+1)^4 $.

Тогда $ \sqrt[4]{(a-1)(a+1)^4} = \sqrt[4]{a-1} \cdot \sqrt[4]{(a+1)^4} $. Так как $ a > 1 $, то $ a+1 > 0 $, и $ \sqrt[4]{(a+1)^4} = a+1 $.

Получаем $ \sqrt[4]{(a-1)(a+1)^4} = (a+1)\sqrt[4]{a-1} $.

Первый множитель в произведении: $ \frac{a}{2} (a+1)\sqrt[4]{a-1} $.

Упростим второй множитель. Отрицательная степень означает взятие обратной дроби:

$ \left(\frac{a^2+3a+2}{\sqrt{a-1}}\right)^{-1} = \frac{\sqrt{a-1}}{a^2+3a+2} $.

Разложим на множители знаменатель: $ a^2+3a+2 = (a+1)(a+2) $.

Второй множитель: $ \frac{\sqrt{a-1}}{(a+1)(a+2)} $.

Теперь перемножим упрощенные части:

$ \left( \frac{a}{2} (a+1)\sqrt[4]{a-1} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{a-1}}{(a+1)(a+2)} \right) = \frac{a(a+1)\sqrt[4]{a-1}\sqrt{a-1}}{2(a+1)(a+2)} $.

Сократим $ (a+1) $ (это возможно, так как при $ a > 1 $, $ a+1 \neq 0 $):

$ = \frac{a\sqrt[4]{a-1}\sqrt{a-1}}{2(a+2)} $.

Представим корни в виде степеней и перемножим их: $ \sqrt[4]{a-1} \cdot \sqrt{a-1} = (a-1)^{1/4} \cdot (a-1)^{1/2} = (a-1)^{1/4+2/4} = (a-1)^{3/4} = \sqrt[4]{(a-1)^3} $.

Окончательное выражение:

$ \frac{a\sqrt[4]{(a-1)^3}}{2(a+2)} $.

Ответ: $ \frac{a\sqrt[4]{(a-1)^3}}{2(a+2)} $