Номер 3.12, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.12. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{\frac{64 \cdot 27}{125}}$;

2) $\sqrt[4]{\frac{81}{16 \cdot 625}}$;

3) $\sqrt[5]{\frac{3^{10} \cdot 5^5}{7^{10}}}$;

4) $\sqrt[6]{\frac{9^9}{2^{12} \cdot 5^6}}$.

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{\frac{64 \cdot 27}{125}}$ воспользуемся свойством корня из дроби и произведения: $\sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}}$.

$\sqrt[3]{\frac{64 \cdot 27}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64 \cdot 27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}}$.

Так как $64 = 4^3$, $27 = 3^3$ и $125 = 5^3$, то:

$\frac{\sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$.

Результат можно представить в виде десятичной дроби $2.4$.

Ответ: $\frac{12}{5}$.

2) Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{\frac{81}{16 \cdot 625}}$ применим свойство корня из дроби и произведения: $\sqrt[n]{\frac{a}{b \cdot c}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c}}$.

$\sqrt[4]{\frac{81}{16 \cdot 625}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625}}$.

Так как $81 = 3^4$, $16 = 2^4$ и $625 = 5^4$, то:

$\frac{\sqrt[4]{3^4}}{\sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5^4}} = \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.

Результат можно представить в виде десятичной дроби $0.3$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

3) Для нахождения значения выражения $\sqrt[5]{\frac{3^{10} \cdot 5^5}{7^{10}}}$ воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, применив его к числителю и знаменателю.

$\sqrt[5]{\frac{3^{10} \cdot 5^5}{7^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{3^{10} \cdot 5^5}}{\sqrt[5]{7^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{3^{10}} \cdot \sqrt[5]{5^5}}{\sqrt[5]{7^{10}}}$.

Применяя свойство степени корня, получаем:

$\frac{3^{\frac{10}{5}} \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{7^{\frac{10}{5}}} = \frac{3^2 \cdot 5^1}{7^2} = \frac{9 \cdot 5}{49} = \frac{45}{49}$.

Ответ: $\frac{45}{49}$.

4) Для нахождения значения выражения $\sqrt[6]{\frac{9^9}{2^{12} \cdot 5^6}}$ сначала упростим подкоренное выражение. Представим $\text{9}$ как степень простого числа: $9 = 3^2$.

Тогда $9^9 = (3^2)^9 = 3^{2 \cdot 9} = 3^{18}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt[6]{\frac{3^{18}}{2^{12} \cdot 5^6}}$.

Используем свойство корня из дроби и частного, а также свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\frac{\sqrt[6]{3^{18}}}{\sqrt[6]{2^{12} \cdot 5^6}} = \frac{\sqrt[6]{3^{18}}}{\sqrt[6]{2^{12}} \cdot \sqrt[6]{5^6}} = \frac{3^{\frac{18}{6}}}{2^{\frac{12}{6}} \cdot 5^{\frac{6}{6}}}$.

Вычисляем показатели степеней и получаем результат:

$\frac{3^3}{2^2 \cdot 5^1} = \frac{27}{4 \cdot 5} = \frac{27}{20}$.

Результат можно представить в виде десятичной дроби $1.35$.

Ответ: $\frac{27}{20}$.