Номер 3.6, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.6. Сравните числа:

1) $\sqrt{5}$ и $\sqrt[4]{5}$;

2) $\sqrt{0,5}$ и $\sqrt[4]{0,5}$;

3) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[5]{3}$;

4) $\sqrt[3]{0,7}$ и $\sqrt[5]{0,7}$;

5) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{4}$;

6) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[4]{5}$;

7) $\sqrt[10]{8}$ и $\text{1}$;

8) $\sqrt[7]{0,85}$ и $\text{1}$;

9) $\sqrt[5]{-0,2}$ и $\sqrt[5]{-0,3}$;

10) $\sqrt[18]{\frac{4}{7}}$ и $\sqrt[18]{0,57}$.

1) Запишем числа в виде степеней: $ \sqrt{5} = 5^{1/2} $ и $ \sqrt[4]{5} = 5^{1/4} $. Основание степени $ 5 > 1 $, поэтому показательная функция с таким основанием является возрастающей. Сравним показатели степеней: $ \frac{1}{2} > \frac{1}{4} $. Так как функция возрастающая, большему значению аргумента (показателя) соответствует большее значение функции. Следовательно, $ 5^{1/2} > 5^{1/4} $.

Ответ: $ \sqrt{5} > \sqrt[4]{5} $.

2) Запишем числа в виде степеней: $ \sqrt{0,5} = 0,5^{1/2} $ и $ \sqrt[4]{0,5} = 0,5^{1/4} $. Основание степени $ 0 < 0,5 < 1 $, поэтому показательная функция с таким основанием является убывающей. Сравним показатели степеней: $ \frac{1}{2} > \frac{1}{4} $. Так как функция убывающая, большему значению аргумента (показателя) соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $ 0,5^{1/2} < 0,5^{1/4} $.

Ответ: $ \sqrt{0,5} < \sqrt[4]{0,5} $.

3) Для сравнения чисел $ \sqrt[3]{2} $ и $ \sqrt[5]{3} $ приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 5 равно 15.

$ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32} $.

$ \sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27} $.

Теперь сравним $ \sqrt[15]{32} $ и $ \sqrt[15]{27} $. Так как $ 32 > 27 $, то $ \sqrt[15]{32} > \sqrt[15]{27} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{2} > \sqrt[5]{3} $.

4) Запишем числа в виде степеней: $ \sqrt[3]{0,7} = 0,7^{1/3} $ и $ \sqrt[5]{0,7} = 0,7^{1/5} $. Основание степени $ 0 < 0,7 < 1 $, поэтому показательная функция с таким основанием является убывающей. Сравним показатели степеней: $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $. Поскольку функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение степени. Следовательно, $ 0,7^{1/3} < 0,7^{1/5} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{0,7} < \sqrt[5]{0,7} $.

5) Сначала упростим второе число: $ \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2} $. Теперь сравним $ \sqrt[3]{3} $ и $ \sqrt{2} $. Приведем корни к общему показателю 6 (наименьшее общее кратное 3 и 2).

$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9} $.

$ \sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8} $.

Так как $ 9 > 8 $, то $ \sqrt[6]{9} > \sqrt[6]{8} $. Следовательно, $ \sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} $.

6) Для сравнения $ \sqrt[4]{3} $ и $ \sqrt[6]{5} $ приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 6 равно 12.

$ \sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[12]{27} $.

$ \sqrt[6]{5} = \sqrt[6 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[12]{25} $.

Так как $ 27 > 25 $, то $ \sqrt[12]{27} > \sqrt[12]{25} $. Следовательно, $ \sqrt[4]{3} > \sqrt[6]{5} $.

Ответ: $ \sqrt[4]{3} > \sqrt[6]{5} $.

7) Сравним $ \sqrt[10]{8} $ и 1. Число 1 можно представить как корень любой степени из единицы: $ 1 = \sqrt[10]{1} $.

Теперь сравним $ \sqrt[10]{8} $ и $ \sqrt[10]{1} $. Так как подкоренное выражение $ 8 > 1 $, то и сам корень будет больше единицы: $ \sqrt[10]{8} > \sqrt[10]{1} $.

Ответ: $ \sqrt[10]{8} > 1 $.

8) Сравним $ \sqrt[7]{0,85} $ и 1. Представим 1 как $ \sqrt[7]{1} $.

Теперь сравним $ \sqrt[7]{0,85} $ и $ \sqrt[7]{1} $. Так как подкоренное выражение $ 0,85 < 1 $, то и сам корень будет меньше единицы: $ \sqrt[7]{0,85} < \sqrt[7]{1} $.

Ответ: $ \sqrt[7]{0,85} < 1 $.

9) Сравниваем $ \sqrt[5]{-0,2} $ и $ \sqrt[5]{-0,3} $. Функция $ y = \sqrt[5]{x} $ является возрастающей на всей числовой прямой, так как показатель корня нечетный. Поэтому для сравнения значений корней достаточно сравнить их подкоренные выражения.

Сравним $ -0,2 $ и $ -0,3 $. Так как $ -0,2 > -0,3 $, то и $ \sqrt[5]{-0,2} > \sqrt[5]{-0,3} $.

Ответ: $ \sqrt[5]{-0,2} > \sqrt[5]{-0,3} $.

10) Сравниваем $ \sqrt[18]{\frac{4}{7}} $ и $ \sqrt[18]{0,57} $. Так как показатели корней одинаковы, достаточно сравнить подкоренные выражения: $ \frac{4}{7} $ и $ 0,57 $.

Для сравнения дроби $ \frac{4}{7} $ и десятичной дроби $ 0,57 $ переведем $ \frac{4}{7} $ в десятичную дробь: $ 4 \div 7 = 0,5714... $.

Теперь сравним $ 0,5714... $ и $ 0,57 $. Очевидно, что $ 0,5714... > 0,57 $. Значит, $ \frac{4}{7} > 0,57 $.

Поскольку подкоренное выражение первого числа больше, чем второго, то $ \sqrt[18]{\frac{4}{7}} > \sqrt[18]{0,57} $.

Ответ: $ \sqrt[18]{\frac{4}{7}} > \sqrt[18]{0,57} $.