Работа в группе, страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Докажите свойство 4° и приведите примеры.

4°. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, $b > 0$ (чтобы извлечь корень n-й степени из дроби, надо извлечь его из числителя и знаменателя, и первый результат разделить на второй).

4o .

Доказательство свойства: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Свойство справедливо для любого натурального числа $n \ge 2$, любого неотрицательного числа $\text{a}$ (то есть $a \ge 0$) и любого положительного числа $\text{b}$ (то есть $b > 0$).

По определению арифметического корня $\text{n}$-й степени, чтобы доказать, что некоторое неотрицательное число $\text{c}$ равно $\sqrt[n]{d}$, необходимо показать, что выполняется равенство $c^n = d$.

В нашем случае, нам нужно доказать, что выражение в правой части, то есть $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, будучи возведенным в степень $\text{n}$, даст в результате подкоренное выражение из левой части, то есть $\frac{a}{b}$.

Проверим это. Возведем правую часть в степень $\text{n}$, используя свойство степени частного $\left(\frac{x}{y}\right)^k = \frac{x^k}{y^k}$:

$\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n}$

Теперь, по определению корня $\text{n}$-й степени, для любого неотрицательного $\text{x}$ выполняется $(\sqrt[n]{x})^n = x$. Применим это к числителю и знаменателю:

$\frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{a}{b}$

Таким образом, мы показали, что $\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{a}{b}$. Также, поскольку $a \ge 0$ и $b>0$, то $\sqrt[n]{a} \ge 0$ и $\sqrt[n]{b} > 0$, а значит их частное $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ тоже неотрицательно. Оба условия определения корня выполнены, следовательно, свойство доказано.

Примеры:

1. Для квадратного корня ($n=2$):

$\sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}} = \frac{4}{7}$

2. Для кубического корня ($n=3$):

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$

3. Для корня четвертой степени ($n=4$):

$\sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{3}{5}$

Ответ: Свойство доказано путем возведения правой части равенства в степень $\text{n}$ и получения подкоренного выражения левой части. Свойство гласит: чтобы извлечь корень $\text{n}$-й степени из дроби, нужно извлечь корень той же степени из числителя и знаменателя и разделить первый результат на второй.