Номер 2.36, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.36. Найдите область определения функции $g(x) = \arcsin \frac{x-1}{x+1}$.

Область определения функции арксинуса – это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для данной функции $g(x) = \arcsin\frac{x-1}{x+1}$ должно выполняться условие:

$-1 \le \frac{x-1}{x+1} \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{x+1} \ge -1 \\ \frac{x-1}{x+1} \le 1 \end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1) Решим первое неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} \ge -1$

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x-1}{x+1} + 1 \ge 0$

$\frac{x-1 + (x+1)}{x+1} \ge 0$

$\frac{2x}{x+1} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$2x = 0 \implies x = 0$

$x+1 = 0 \implies x = -1$

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x=0$ будет закрашенной (включена), так как неравенство нестрогое. Точка $x=-1$ будет выколотой (исключена), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения $\frac{2x}{x+1}$ на полученных интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0]$, $[0, +\infty)$.

• При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{2(1)}{1+1} = 1 > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{2(-0.5)}{-0.5+1} = \frac{-1}{0.5} = -2 < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{2(-2)}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, +\infty)$.

2) Решим второе неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} \le 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x-1}{x+1} - 1 \le 0$

$\frac{x-1 - (x+1)}{x+1} \le 0$

$\frac{x-1 - x-1}{x+1} \le 0$

$\frac{-2}{x+1} \le 0$

Числитель (-2) является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, знаменатель должен быть строго больше нуля (так как на ноль делить нельзя).

$x+1 > 0$

$x > -1$

Решение второго неравенства: $x \in (-1, +\infty)$.

3) Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение системы — это пересечение множеств $(-\infty, -1) \cup [0, +\infty)$ и $(-1, +\infty)$.

Изобразив эти множества на числовой прямой, мы увидим, что их пересечением является промежуток $[0, +\infty)$.

Таким образом, область определения функции $g(x)$ — это все значения $\text{x}$, удовлетворяющие $x \ge 0$.

Ответ: $[0; +\infty)$.