Номер 2.29, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.29. Представлены полигоны частот двух выборок:

Полигон частот для количества зерен в пшеничных колосьях с неудобренного участка земли

Частоты

Количество зерен в колосьях

Полигон частот для количества зерен в пшеничных колосьях с удобренного участка земли

Частоты

Количество зерен в колосьях

Таблица 2.6. Полигоны частот для количества зерен в пшеничных колосьях, собранных с неудобренного и удобренного участков земли

По полигону частот определите, размах какой выборки больше.

Вычислите выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение каждой выбороки. Поясните полученные результаты.

По полигону частот определите, размах какой выборки больше.

Размах выборки $\text{R}$ — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке: $R = x_{max} - x_{min}$.

Для первой выборки (пшеница с неудобренного участка) по оси "Количество зерен в колосьях" минимальное значение $x_{min}$ равно 3, а максимальное $x_{max}$ равно 13.

Размах этой выборки: $R_1 = 13 - 3 = 10$.

Для второй выборки (пшеница с удобренного участка) минимальное значение $x_{min}$ равно 2, а максимальное $x_{max}$ равно 9.

Размах этой выборки: $R_2 = 9 - 2 = 7$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $10 > 7$, то есть $R_1 > R_2$.

Ответ: Размах больше у выборки для количества зерен в колосьях с неудобренного участка земли.

Вычислите выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение каждой выборки. Поясните полученные результаты.

Для вычисления статистических характеристик сгруппированных данных воспользуемся следующими формулами:

Объем выборки: $n = \sum n_i$

Выборочное среднее: $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i} x_i n_i$

Выборочная дисперсия: $D = \frac{1}{n} \sum_{i} (x_i - \bar{x})^2 n_i = \left(\frac{1}{n} \sum_{i} x_i^2 n_i\right) - \bar{x}^2$

Выборочное стандартное отклонение: $s = \sqrt{D}$

где $x_i$ — значение признака (количество зерен), а $n_i$ — соответствующая частота.

1. Выборка с неудобренного участка земли

Сначала извлечем данные из полигона частот:

Значения ($x_i$): 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Частоты ($n_i$): 4, 13, 11, 28, 46, 27, 14, 4, 1, 1, 1

Объем выборки: $n_1 = 4+13+11+28+46+27+14+4+1+1+1 = 150$.

Найдем сумму произведений значений на их частоты:

$\sum x_i n_i = (3 \cdot 4) + (4 \cdot 13) + (5 \cdot 11) + (6 \cdot 28) + (7 \cdot 46) + (8 \cdot 27) + (9 \cdot 14) + (10 \cdot 4) + (11 \cdot 1) + (12 \cdot 1) + (13 \cdot 1) = 12+52+55+168+322+216+126+40+11+12+13 = 1027$.

Выборочное среднее: $\bar{x}_1 = \frac{1027}{150} \approx 6.85$.

Для вычисления дисперсии найдем $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (3^2 \cdot 4) + (4^2 \cdot 13) + ... + (13^2 \cdot 1) = 36 + 208 + 275 + 1008 + 2254 + 1728 + 1134 + 400 + 121 + 144 + 169 = 7477$.

Выборочная дисперсия: $D_1 = \frac{7477}{150} - (\frac{1027}{150})^2 \approx 49.847 - 6.847^2 \approx 49.847 - 46.880 \approx 2.97$.

Стандартное отклонение: $s_1 = \sqrt{D_1} \approx \sqrt{2.97} \approx 1.72$.

2. Выборка с удобренного участка земли

Извлечем данные из полигона частот:

Значения ($x_i$): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Частоты ($n_i$): 2, 11, 19, 29, 51, 25, 12, 1

Объем выборки: $n_2 = 2+11+19+29+51+25+12+1 = 150$.

Найдем сумму произведений значений на их частоты:

$\sum x_i n_i = (2 \cdot 2) + (3 \cdot 11) + (4 \cdot 19) + (5 \cdot 29) + (6 \cdot 51) + (7 \cdot 25) + (8 \cdot 12) + (9 \cdot 1) = 4+33+76+145+306+175+96+9 = 844$.

Выборочное среднее: $\bar{x}_2 = \frac{844}{150} \approx 5.63$.

Для вычисления дисперсии найдем $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (2^2 \cdot 2) + (3^2 \cdot 11) + ... + (9^2 \cdot 1) = 8 + 99 + 304 + 725 + 1836 + 1225 + 768 + 81 = 5046$.

Выборочная дисперсия: $D_2 = \frac{5046}{150} - (\frac{844}{150})^2 \approx 33.64 - 5.627^2 \approx 33.64 - 31.663 \approx 1.98$.

Стандартное отклонение: $s_2 = \sqrt{D_2} \approx \sqrt{1.98} \approx 1.41$.

Пояснение полученных результатов:

1. Выборочное среднее: Среднее количество зерен в колосе с неудобренного участка ($\bar{x}_1 \approx 6.85$) оказалось выше, чем с удобренного ($\bar{x}_2 \approx 5.63$). Это означает, что в среднем колосья с неудобренной земли были более зернистыми.

2. Дисперсия и стандартное отклонение: Эти показатели характеризуют разброс данных относительно среднего значения. Для неудобренного участка дисперсия ($D_1 \approx 2.97$) и стандартное отклонение ($s_1 \approx 1.72$) больше, чем для удобренного ($D_2 \approx 1.98$ и $s_2 \approx 1.41$). Это говорит о том, что количество зерен в колосьях с неудобренного участка более изменчиво и имеет больший разброс. На удобренном участке количество зерен в колосьях более стабильно и сгруппировано ближе к своему среднему значению.

Вывод: Удобрение привело к снижению среднего количества зерен, но сделало урожай более однородным (меньший разброс значений).

Ответ:

- Для выборки с неудобренного участка: выборочное среднее $\bar{x}_1 \approx 6.85$, дисперсия $D_1 \approx 2.97$, стандартное отклонение $s_1 \approx 1.72$.

- Для выборки с удобренного участка: выборочное среднее $\bar{x}_2 \approx 5.63$, дисперсия $D_2 \approx 1.98$, стандартное отклонение $s_2 \approx 1.41$.