Номер 2.28, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.28*. Вычислите определенный интеграл $ \int_0^2 |1-x|dx $.

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{2} |1-x|dx$ необходимо раскрыть подынтегральную функцию, содержащую модуль.

Выражение под знаком модуля, $1-x$, обращается в ноль при $x=1$. Эта точка находится внутри отрезка интегрирования $[0, 2]$. Поэтому, для раскрытия модуля, необходимо рассмотреть два случая:

1. На отрезке $[0, 1]$, выражение $1-x \ge 0$, и следовательно, $|1-x| = 1-x$.
2. На отрезке $[1, 2]$, выражение $1-x \le 0$, и следовательно, $|1-x| = -(1-x) = x-1$.

Используя свойство аддитивности определенного интеграла, разобьем исходный интеграл на сумму двух интегралов по указанным отрезкам:

$\int_{0}^{2} |1-x|dx = \int_{0}^{1} |1-x|dx + \int_{1}^{2} |1-x|dx$

Теперь заменим подынтегральные функции на их выражения без модуля на соответствующих отрезках:

$\int_{0}^{2} |1-x|dx = \int_{0}^{1} (1-x)dx + \int_{1}^{2} (x-1)dx$

Вычислим каждый из полученных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

Вычисление первого интеграла:

$\int_{0}^{1} (1-x)dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^2}{2}\right) - \left(0 - \frac{0^2}{2}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) - 0 = \frac{1}{2}$

Вычисление второго интеграла:

$\int_{1}^{2} (x-1)dx = \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} - 2\right) - \left(\frac{1^2}{2} - 1\right) = \left(\frac{4}{2} - 2\right) - \left(\frac{1}{2} - 1\right) = (2-2) - \left(-\frac{1}{2}\right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Наконец, сложим результаты вычисления двух интегралов, чтобы найти значение исходного интеграла:

$\int_{0}^{2} |1-x|dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1