Номер 2.25, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25. Садовник извлек случайную выборку 6-месячных саженцев и измерил их длину с точностью до миллиметра. Результаты измерений приведены в следующей интервальной таблице частот.

Длина саженца (мм): 300-324, 325-349, 350-374, 375-399, 400-424, 425-449

Частота: 12, 18, 42, 28, 14, 6

1) Постройте гистограмму данной выборки.

2) Сколько саженцев имеет длину, не меньшую 400 мм?

3) Сколько процентов всех саженцев имеет длину, большую 349 мм и меньшую 400 мм ?

4) Сколько процентов саженцев имеет длину, меньшую 400 мм, если общее количество саженцев равно 1462?

1) Постройте гистограмму данной выборки.

Гистограмма частот — это диаграмма, состоящая из смежных прямоугольников, основания которых расположены на горизонтальной оси и соответствуют интервалам данных, а высоты равны соответствующим частотам.

Для построения гистограммы по данным таблицы необходимо выполнить следующие действия:

1. Нарисовать систему координат. Горизонтальная ось (ось абсцисс) будет представлять длину саженцев в миллиметрах, а вертикальная ось (ось ординат) — частоту (количество саженцев).
2. На горизонтальной оси отметить интервалы длины: 300–324, 325–349, 350–374, 375–399, 400–424, 425–449. Ширина всех прямоугольников будет одинаковой, так как длина каждого интервала составляет 25 мм ($324-300+1=25$, $349-325+1=25$ и т.д.).
3. На вертикальной оси выбрать подходящий масштаб для отображения частот. Максимальная частота равна 42, поэтому ось можно разметить, например, до 45 с шагом 5.
4. Для каждого интервала нарисовать прямоугольник, высота которого равна частоте из таблицы:
   • Для интервала 300–324 мм высота прямоугольника равна 12.
   • Для интервала 325–349 мм высота прямоугольника равна 18.
   • Для интервала 350–374 мм высота прямоугольника равна 42.
   • Для интервала 375–399 мм высота прямоугольника равна 28.
   • Для интервала 400–424 мм высота прямоугольника равна 14.
   • Для интервала 425–449 мм высота прямоугольника равна 6.

Прямоугольники гистограммы должны примыкать друг к другу.

Ответ: Гистограмма представляет собой набор из шести смежных прямоугольников одинаковой ширины, высоты которых равны 12, 18, 42, 28, 14 и 6 соответственно.

2) Сколько саженцев имеет длину, не меньшую 400 мм?

Условие «не меньшую 400 мм» означает длину, равную или большую 400 мм ($ \ge 400 $ мм). В таблице этому условию соответствуют саженцы из следующих интервалов:

• Интервал 400–424 мм, частота — 14 саженцев.
• Интервал 425–449 мм, частота — 6 саженцев.

Чтобы найти общее количество таких саженцев, необходимо сложить их частоты:

$14 + 6 = 20$

Ответ: 20 саженцев.

3) Сколько процентов всех саженцев имеет длину, большую 349 мм и меньшую 400 мм?

Сначала найдем общее количество саженцев в выборке, просуммировав все частоты:

$N_{общ} = 12 + 18 + 42 + 28 + 14 + 6 = 120$

Теперь определим количество саженцев, длина которых находится в диапазоне от 349 мм до 400 мм (не включая 400 мм). Этому диапазону соответствуют интервалы:

• Интервал 350–374 мм, частота — 42 саженца.
• Интервал 375–399 мм, частота — 28 саженцев.

Суммарное количество саженцев в этом диапазоне:

$42 + 28 = 70$

Рассчитаем процентное отношение этого количества к общему числу саженцев в выборке:

$ \text{Процент} = \frac{70}{120} \times 100\% = \frac{7}{12} \times 100\% = \frac{700}{12}\% = \frac{175}{3}\% = 58\frac{1}{3}\% $

Ответ: $58\frac{1}{3}\%$.

4) Сколько процентов саженцев имеет длину, меньшую 400 мм, если общее количество саженцев равно 1462?

Процентное соотношение, рассчитанное по случайной выборке, является оценкой для всей генеральной совокупности. Поэтому для ответа на вопрос мы будем использовать данные выборки. Указание общего количества саженцев (1462) не требуется для расчета процента, так как вопрос именно о процентном соотношении, а не об абсолютном количестве.

Найдем количество саженцев в выборке с длиной менее 400 мм. Это саженцы из интервалов:

• 300–324 мм (частота 12)
• 325–349 мм (частота 18)
• 350–374 мм (частота 42)
• 375–399 мм (частота 28)

Сумма их частот:

$12 + 18 + 42 + 28 = 100$

Общее число саженцев в выборке — 120. Рассчитаем процент:

$ \text{Процент} = \frac{100}{120} \times 100\% = \frac{5}{6} \times 100\% = \frac{500}{6}\% = \frac{250}{3}\% = 83\frac{1}{3}\% $

Ответ: $83\frac{1}{3}\%$.