Номер 2.27, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Найдите точки разрыва функции $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{3x^2 - 2x - 1}$.

Данная функция $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{3x^2 - 2x - 1}$ является рациональной функцией. Точки разрыва такой функции могут существовать только там, где ее знаменатель обращается в ноль, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $\text{x}$, при которых знаменатель равен нулю. Для этого решим квадратное уравнение:

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, мы нашли две точки, в которых функция не определена и, следовательно, имеет разрывы: $x = 1$ и $x = -\frac{1}{3}$.

Теперь определим тип каждого разрыва. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель функции.

Числитель: $x^2 - 3x + 2$. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=1$ и $x_2=2$. Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Знаменатель: $3x^2 - 2x - 1$. Мы уже нашли его корни $x_1=1$ и $x_2=-\frac{1}{3}$. Следовательно, $3x^2 - 2x - 1 = 3(x-1)(x-(-\frac{1}{3})) = 3(x-1)(x+\frac{1}{3}) = (x-1)(3x+1)$.

Тогда функцию можно переписать в виде:

$f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(3x+1)}$

Исследуем точку $x=1$

Найдем предел функции при $x \to 1$:

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(3x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-2}{3x+1} = \frac{1-2}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{-1}{4}$

Поскольку предел в точке $x=1$ существует и конечен, то в этой точке функция имеет устранимый разрыв (разрыв первого рода).

Исследуем точку $x = -\frac{1}{3}$

Найдем предел функции при $x \to -\frac{1}{3}$:

$\lim_{x \to -1/3} f(x) = \lim_{x \to -1/3} \frac{x-2}{3x+1}$

При подстановке $x = -\frac{1}{3}$ числитель равен $-\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}$, а знаменатель равен $3(-\frac{1}{3}) + 1 = 0$. Так как предел знаменателя равен нулю, а предел числителя не равен нулю, то предел функции равен бесконечности.

$\lim_{x \to -1/3} \frac{x-2}{3x+1} = \infty$

Поскольку предел в точке $x = -\frac{1}{3}$ равен бесконечности, то в этой точке функция имеет неустранимый разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Ответ: функция имеет две точки разрыва: $x=1$ — точка устранимого разрыва, $x = -\frac{1}{3}$ — точка разрыва второго рода.