Номер 2.26, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.26. Проверьте функцию $f(x) = \frac{x^3}{x^2-3}$ на четность, постройте ее график.

Проверка на четность

Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 3}$.

1. Найдем область определения функции $D(f)$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x^2 - 3 \neq 0 \implies x^2 \neq 3 \implies x \neq \pm\sqrt{3}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат, что является необходимым условием для четности или нечетности функции.

2. Проверим функцию на четность. Для этого найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 3} = \frac{-x^3}{x^2 - 3} = - \left( \frac{x^3}{x^2 - 3} \right) = -f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ: функция является нечетной.

Построение графика

Для построения графика проведем полное исследование функции $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 3}$.

1. Область определения и свойство симметрии:

$D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат $(0,0)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

При $x=0$, $y = f(0) = \frac{0}{0-3} = 0$. График пересекает оси в точке $(0, 0)$.

При $y=0$, $\frac{x^3}{x^2 - 3} = 0 \implies x^3 = 0 \implies x=0$. Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

3. Асимптоты:

Вертикальные асимптоты. Ищем в точках, где знаменатель равен нулю: $x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Таким образом, $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$ являются вертикальными асимптотами.

Наклонная асимптота. Так как степень числителя на единицу больше степени знаменателя, существует наклонная асимптота вида $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x^2 - 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3 - 3x} = 1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3}{x^2 - 3} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^3 + 3x}{x^2 - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 - 3} = 0$.

Наклонная асимптота: $y = x$.

4. Производная, промежутки монотонности и экстремумы:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{x^2 - 3}\right)' = \frac{3x^2(x^2 - 3) - x^3(2x)}{(x^2 - 3)^2} = \frac{3x^4 - 9x^2 - 2x^4}{(x^2 - 3)^2} = \frac{x^4 - 9x^2}{(x^2 - 3)^2} = \frac{x^2(x-3)(x+3)}{(x^2 - 3)^2}$.

Стационарные точки ($f'(x)=0$): $x=0, x=3, x=-3$.

Знак производной определяется знаком выражения $x^2-9$.

- Функция возрастает ($f'(x) > 0$) при $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

- Функция убывает ($f'(x) < 0$) при $x \in (-3, 3)$, исключая точки разрыва $x=\pm\sqrt{3}$.

В точке $x=-3$ — локальный максимум: $f(-3) = \frac{(-3)^3}{(-3)^2-3} = \frac{-27}{6} = -4.5$.

В точке $x=3$ — локальный минимум: $f(3) = \frac{3^3}{3^2-3} = \frac{27}{6} = 4.5$.

В точке $x=0$ экстремума нет.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба:

$f''(x) = \left(\frac{x^4 - 9x^2}{(x^2 - 3)^2}\right)' = \frac{6x(x^2 + 9)}{(x^2 - 3)^3}$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

- График вогнутый (выпуклый вниз, $f''(x) > 0$) при $x \in (-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

- График выпуклый (вверх, $f''(x) < 0$) при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$.

Точка $x=0$ является точкой перегиба. $f(0)=0$, точка перегиба — $(0, 0)$.

6. График функции:

На основе проведенного анализа строим график. Он имеет три ветви, симметричен относительно начала координат, проходит через точку $(0,0)$, имеет локальный максимум в $(-3, -4.5)$, локальный минимум в $(3, 4.5)$ и асимптоты $y=x$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$.

Ответ: график функции построен на основе проведенного исследования.